On tangential star products for the coadjoint Poisson structure
type: Item
instance of: scholarly article
title: On tangential star products for the coadjoint Poisson structure
zbMATH Open document ID: 0859.17017
DOI: 10.1007/BF02101183
author: Michel Cahen
author: Simone Gutt
author: J. Rawnsley
published in: Communications in Mathematical Physics
publication date: 1996-11-25T00:00:00Z
review text: Dans cet article les auteurs ont donné une condition nécessaire pour l'existence de produit-star tangentiel sur le dual d'une algèbre de Lie munie de sa structure de Poisson coadjointe. En effet, ils ont montré la proposition suivante: Soient \({\mathfrak g}\) une algèbre de Lie et \(\beta\) une forme bilinéaire invariante sur \({\mathfrak g}^*\). Posons \(\Delta= \sum\beta^{ab} x_a\cdot x_b\). S'il existe une 2-cochaine différentiel \(D\) sur \({\mathcal C}^\infty(U)\), où \(U\) est un voisinage de 0 dans \({\mathfrak g}^*\), vérifiant: i) \(D(\Delta,v)=0\) \(\forall v\in{\mathcal C}^\infty(U)\), ii) \(\delta D(u,v,w)= \{\{u,w\},v\}\). Alors l'idéal \(\widehat{\beta} ({\mathfrak g^*})\) est nilpotent de pas 2. En appliquant cette proposition au deuxième terme d'un produit-star, ils obtiennent le théorème suivant: S'il existe un produit-star différentiel et tangentiel sur un voisinage de 0 dans \({\mathfrak g}^*\), alors \(\widehat{\beta} ({\mathfrak g}^*)\) est un idéal nilpotent de pas 2. En particulier, si \({\mathfrak g}\) est semi-simple, il n'existe pas de produit-star différentiel et tangentiel sur \({\mathfrak g}^*\).
reviewed by: M. Masmoudi
Mathematics Subject Classification ID: 17B63
Mathematics Subject Classification ID: 53D55
Mathematics Subject Classification ID: 53D17
Mathematics Subject Classification ID: 17B55
zbMATH DE Number: 934762
zbMATH Keywords: star product
zbMATH Keywords: tangential dual Lie algebra
zbMATH Keywords: Poisson structure
zbMATH Keywords: two-step nilpotent ideal
MaRDI profile type: Publication
cites work: Deformation theory and quantization. I: Deformations of symplectic structures
cites work: Nonlinearizability of the Iwasawa Poisson Lie structure
cites work: Normal forms for smooth Poisson structures
cites work: Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds
cites work: A simple geometrical construction of deformation quantization
cites work: On the Nonlinear Convexity Theorem of Kostant
cites work: Poisson Lie groups, dressing transformations, and Bruhat decompositions
cites work: Lie-Poisson Structure on Some Poisson Lie Groups
cites work: Tangential formal deformations of the Poisson bracket and tangential star products on a regular Poisson manifold
cites work: Weyl manifolds and deformation quantization
cites work: Q4328361
cites work: Déformation du crochet de Poisson sur une variété symplectique
cites work: The local structure of Poisson manifolds
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02101183
OpenAlex ID: W1986187994
description: scientific article; zbMATH DE number 934762