On values of polynomial Dirichlet series at the origin
type: Item
instance of: scholarly article
title: On values of polynomial Dirichlet series at the origin
zbMATH Open document ID: 0858.11048
DOI: 10.1007/BF01323980
author: Helmut Müller
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1997-03-25T00:00:00Z
review text: Es seien \(k\) komplexe Zahlen \(\alpha_1, \dots, \alpha_k\) vorgegeben mit \(-\alpha_j \notin \mathbb{N}\) für \(j=1, \dots, k\). Bekanntlich läßt sich dann die für \(\text{Re} s> {1\over k}\) konvergente Dirichlet-Reihe \(Z(s): =\sum^\infty_{n=1} [(n +\alpha_1) \dots (n+ \alpha_k) ]^{-s}\) in die ganze komplexe Ebene meromorph fortsetzen. Da \(Z(s)\) im Nullpunkt stets holomorph ist, kann man dort ihre Ableitungen berechnen. Es gilt \(Z(0)= -{1\over 2}-{\alpha_1 + \cdots + \alpha_k \over k}\) und \[ Z'(0)= -{k\over 2} \log 2\pi+ \sum^k_{j=1} \log \Gamma (1+\alpha_j). \tag{1} \] Während sich der Wert \(Z(0)\) auch unter allgemeineren Voraussetzungen ergibt [siehe z.B. \textit{H. Müller}, Arch. Math. 58, 265-275 (1992; Zbl 0725.11040)], gelang der Beweis von (1) \textit{M. Eie} [Proc. Am. Math. Soc. 110, 583-590 (1990; Zbl 0708.11040)] nur unter der zusätzlichen Bedingung, daß sämtliche \(\alpha_j\) im Einheitskreis liegen. Der Grund lag darin, daß er Reihenentwicklungen benutzte, die eben nur in diesem Falle konvergieren. In der vorliegenden Note wird gezeigt, wie man sich von dieser Einschränkung befreien kann. Dies gelingt mit Hilfe eines neuen Parameters \(M\) und der einfachen Tatsache, daß sich die Halbebene \(\text{Re} s>-1\) durch Durchschnitte der Kreise mit Radius \(M\) und den Mittelpunkten \(0,1, \dots, M-1\) mit wachsendem \(M\) ausschöpfen läßt. Da sich dann die zu untersuchende Dirichlet-Reihe als Linearkombination von Reihen darstellen läßt, auf die das Resultat von M. Eie angewendet werden kann, ergibt sich nach einigen Umformungen das gewünschte Ergebnis (1).
reviewed by: Helmut Müller
Mathematics Subject Classification ID: 11M41
zbMATH DE Number: 937066
zbMATH Keywords: Dirichlet series
zbMATH Keywords: derivatives evaluated at the origin
MaRDI profile type: Publication
cites work: On a Dirichlet Series Associated with a Polynomial
cites work: On generalized zeta-functions at negative integers
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01323980
OpenAlex ID: W1968277605
description: scientific article; zbMATH DE number 937066