On values of polynomial Dirichlet series at the origin
Es seien \(k\) komplexe Zahlen \(\alpha_1, \dots, \alpha_k\) vorgegeben mit \(-\alpha_j \notin \mathbb{N}\) für \(j=1, \dots, k\). Bekanntlich läßt sich dann die für \(\text{Re} s> {1\over k}\) konvergente Dirichlet-Reihe \(Z(s): =\sum^\infty_{n=1} [(n +\alpha_1) \dots (n+ \alpha_k) ]^{-s}\) in die ganze komplexe Ebene meromorph fortsetzen. Da \(Z(s)\) im Nullpunkt stets holomorph ist, kann man dort ihre Ableitungen berechnen. Es gilt \(Z(0)= -{1\over 2}-{\alpha_1 + \cdots + \alpha_k \over k}\) und \[ Z'(0)= -{k\over 2} \log 2\pi+ \sum^k_{j=1} \log \Gamma (1+\alpha_j). \tag{1} \] Während sich der Wert \(Z(0)\) auch unter allgemeineren Voraussetzungen ergibt [siehe z.B. \textit{H. Müller}, Arch. Math. 58, 265-275 (1992; Zbl 0725.11040)], gelang der Beweis von (1) \textit{M. Eie} [Proc. Am. Math. Soc. 110, 583-590 (1990; Zbl 0708.11040)] nur unter der zusätzlichen Bedingung, daß sämtliche \(\alpha_j\) im Einheitskreis liegen. Der Grund lag darin, daß er Reihenentwicklungen benutzte, die eben nur in diesem Falle konvergieren. In der vorliegenden Note wird gezeigt, wie man sich von dieser Einschränkung befreien kann. Dies gelingt mit Hilfe eines neuen Parameters \(M\) und der einfachen Tatsache, daß sich die Halbebene \(\text{Re} s>-1\) durch Durchschnitte der Kreise mit Radius \(M\) und den Mittelpunkten \(0,1, \dots, M-1\) mit wachsendem \(M\) ausschöpfen läßt. Da sich dann die zu untersuchende Dirichlet-Reihe als Linearkombination von Reihen darstellen läßt, auf die das Resultat von M. Eie angewendet werden kann, ergibt sich nach einigen Umformungen das gewünschte Ergebnis (1).
scientific article; zbMATH DE number 937066