On the universality of the Riemann zeta-function
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the universality of the Riemann zeta-function
zbMATH Open document ID: 0867.11058
DOI: 10.1007/BF02348827
published in: Lithuanian Mathematical Journal
publication date: 1997-08-10T00:00:00Z
review text: Der Verf. beweist die folgende Verallgemeinerung eines Satzes über die Universalität von \(\zeta(s)\) [vgl. \textit{A. Laurinčikas}, Limit theorems for the Riemann zeta-function, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1995; Zbl 0845.11002), Theorem 5.2, S. 225]: Es sei \(w(t)\) eine positive Funktion beschränkter Variation auf \([T_0,\infty)\) \((T_0>0)\), so daß für ein \(c>0\) ihre Variation auf \([a,b]\leq cw(a)\) für alle \(b\geq a\geq T_0\) ist. Mit \(U(T,w):= \int^T_{T_0} w(t)dt\) sei \(\lim_{T\to\infty} U(T,w)=\infty\). \(X(\tau,\omega)\) sei ein auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definierter ergodischer Prozeß mit reellem \(\tau\) und \(E|X(\tau,\omega)|<\infty\). Ferner sei für jedes feste \(\omega\) die Funktion \(X(\cdot,\omega)\) im Riemannschen Sinne fast sicher über jedes endliche Intervall integrierbar, und es gelte \[ U(T,w)^{-1} \int^T_{T_0} w(\tau) X(t+\tau,\omega)d\tau= EX(t,\omega)+ o(1+|t|)^\alpha \] fast sicher für alle reellen \(t\) mit passendem \(\alpha>0\) und \(T\to\infty\). \(I(A)\) sei die Indikatorfunktion einer Menge \(A\subset \mathbb{C}\). Es sei \(K\subset\{s\in\mathbb{C}: 1/2<\sigma<1\}\) und kompakt. Das Komplement von \(K\) sei zusammenhängend. \(f\) sei eine auf \(K\) nichtverschwindende stetige Funktion, die im Innern von \(K\) analytisch ist. Dann gilt für jedes \(\varepsilon>0\) \[ \varliminf_{T\to\infty} U(T,w)^{-1} \int^T_{T_0} w(\tau)\Biggl|\Biggl(\Bigg\{\tau: \sup_{s\in K} |\zeta(s+i\tau)- f(s)|<\varepsilon\Biggr\}\Biggr)d\tau> 0. \]
Mathematics Subject Classification ID: 11M06
Mathematics Subject Classification ID: 60F05
zbMATH DE Number: 939543
zbMATH Keywords: universality of the Riemann zeta-function
zbMATH Keywords: functions of bounded variation
zbMATH Keywords: ergodic process
zbMATH Keywords: limit theorems
author: Antanas Laurinčikas
reviewed by: Wolfgang Haneke
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q4074974
cites work: Q4874058
cites work: Weighted limit theorem for the Riemann zeta function in the space of analytic functions
cites work: Q5560061
cites work: Q3292706
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02348827
OpenAlex ID: W4229780932
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description: scientific article; zbMATH DE number 939543