On the universality of the Riemann zeta-function
Der Verf. beweist die folgende Verallgemeinerung eines Satzes über die Universalität von \(\zeta(s)\) [vgl. \textit{A. Laurinčikas}, Limit theorems for the Riemann zeta-function, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1995; Zbl 0845.11002), Theorem 5.2, S. 225]: Es sei \(w(t)\) eine positive Funktion beschränkter Variation auf \([T_0,\infty)\) \((T_0>0)\), so daß für ein \(c>0\) ihre Variation auf \([a,b]\leq cw(a)\) für alle \(b\geq a\geq T_0\) ist. Mit \(U(T,w):= \int^T_{T_0} w(t)dt\) sei \(\lim_{T\to\infty} U(T,w)=\infty\). \(X(\tau,\omega)\) sei ein auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definierter ergodischer Prozeß mit reellem \(\tau\) und \(E|X(\tau,\omega)|<\infty\). Ferner sei für jedes feste \(\omega\) die Funktion \(X(\cdot,\omega)\) im Riemannschen Sinne fast sicher über jedes endliche Intervall integrierbar, und es gelte \[ U(T,w)^{-1} \int^T_{T_0} w(\tau) X(t+\tau,\omega)d\tau= EX(t,\omega)+ o(1+|t|)^\alpha \] fast sicher für alle reellen \(t\) mit passendem \(\alpha>0\) und \(T\to\infty\). \(I(A)\) sei die Indikatorfunktion einer Menge \(A\subset \mathbb{C}\). Es sei \(K\subset\{s\in\mathbb{C}: 1/2<\sigma<1\}\) und kompakt. Das Komplement von \(K\) sei zusammenhängend. \(f\) sei eine auf \(K\) nichtverschwindende stetige Funktion, die im Innern von \(K\) analytisch ist. Dann gilt für jedes \(\varepsilon>0\) \[ \varliminf_{T\to\infty} U(T,w)^{-1} \int^T_{T_0} w(\tau)\Biggl|\Biggl(\Bigg\{\tau: \sup_{s\in K} |\zeta(s+i\tau)- f(s)|<\varepsilon\Biggr\}\Biggr)d\tau> 0. \]
universality of the Riemann zeta-function
scientific article; zbMATH DE number 939543