Restrictions of irreducible unitary representations of nilpotent Lie groups to lattices
type: Item
instance of: scholarly article
title: Restrictions of irreducible unitary representations of nilpotent Lie groups to lattices
zbMATH Open document ID: 0947.22006
author: P. Driutti
author: Bachir Bekka
published in: Journal of Functional Analysis
publication date: 2000-11-06T00:00:00Z
review text: Sei \(\Gamma\) ein Gitter in einer halbeinfachen Lie-Gruppe \(G\). In Erweiterung des Dichtesatzes von Borel haben \textit{M. Cowling} und \textit{T. Steger} gezeigt, daß die Einschränkung einer nicht zur diskreten Serie gehörigen Darstellung \(\pi\in\widehat G\) auf \(\Gamma\) irreduzibel bleibt [J. Reine Angew. Math. 420, 85-98 (1991; Zbl 0760.22014)]. In der vorliegenden Arbeit untersuchen die Autoren diese Frage für den Fall einer nilpotenten einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe \(G\): Sei \({\mathfrak g}\) die Lie-Algebra von \(G\) und \({\mathfrak g}^*\) der Dualraum von \({\mathfrak g}\). Das Gitter \(\Gamma\) in \(G\) definiert eine rationale Struktur auf \(G,{\mathfrak g}\) und \({\mathfrak g}^*\). Sei \({\mathfrak g}^*\ni\ell \mapsto\pi_\ell \in\widehat G\) die Kirillov-Abbildung. Das Hauptresultat der Arbeit besagt, daß die Einschränkung \(\pi_\ell |_\Gamma\) genau dann irreduzibel ist, wenn das Radikal von \(\ell\) in \({\mathfrak g}\) in keinem echten rationalen Ideal von \({\mathfrak g}\) enthalten ist. Die eine Richtung ergibt sich aus einer direkten Integralzerlegung von \(\pi_\ell |_\Gamma\) in monomiale Darstellungen. (Die Autoren geben sogar Kriterien an, unter denen die in dieser Integralzerlegung auftretenden monomialen Darstellungen irreduzibel sind.) Beim Beweis der anderen Richtung wird ein Resultat von C. C. Moore über die Zerlegung der quasiregulären Darstellung \(\text{Ind}^G_\Gamma 1\) in irreduzible Darstellungen sowie ein Irreduzibilitätskriterium von Cowling und Steger verwendet. Die Autoren beweisen ein weiteres Resultat: Für Darstellungen \(\pi,\rho\in\widehat G\) mit irreduziblen Einschränkungen \(\pi|_\Gamma\), \(\rho|_\Gamma\) sind \(\pi |_\Gamma\) und \(\rho|_\Gamma\) genau dann äquivalent, wenn sich \(\pi\) und \(\rho\) nur durch einen Charakter von \(G\) unterscheiden, der auf \(\Gamma\) trivial ist. -- Schließlich erläutern die Autoren ihre Resultate am Beispiel der dreidimensionalen Heisenberg-Gruppe sowie am Beispiel der Gru…
Mathematics Subject Classification ID: 22E27
Mathematics Subject Classification ID: 22E40
Mathematics Subject Classification ID: 43A40
zbMATH DE Number: 1389447
zbMATH Keywords: nilpotent Lie group
zbMATH Keywords: lattice
zbMATH Keywords: irreducible
zbMATH Keywords: unitary representations
reviewed by: Rainer Felix
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: jfan.1999.3473
OpenAlex ID: W2010254059
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DOI: 10.1006/JFAN.1999.3473
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description: scientific article; zbMATH DE number 1389447