Restrictions of irreducible unitary representations of nilpotent Lie groups to lattices
Sei \(\Gamma\) ein Gitter in einer halbeinfachen Lie-Gruppe \(G\). In Erweiterung des Dichtesatzes von Borel haben \textit{M. Cowling} und \textit{T. Steger} gezeigt, daß die Einschränkung einer nicht zur diskreten Serie gehörigen Darstellung \(\pi\in\widehat G\) auf \(\Gamma\) irreduzibel bleibt [J. Reine Angew. Math. 420, 85-98 (1991; Zbl 0760.22014)]. In der vorliegenden Arbeit untersuchen die Autoren diese Frage für den Fall einer nilpotenten einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe \(G\): Sei \({\mathfrak g}\) die Lie-Algebra von \(G\) und \({\mathfrak g}^*\) der Dualraum von \({\mathfrak g}\). Das Gitter \(\Gamma\) in \(G\) definiert eine rationale Struktur auf \(G,{\mathfrak g}\) und \({\mathfrak g}^*\). Sei \({\mathfrak g}^*\ni\ell \mapsto\pi_\ell \in\widehat G\) die Kirillov-Abbildung. Das Hauptresultat der Arbeit besagt, daß die Einschränkung \(\pi_\ell |_\Gamma\) genau dann irreduzibel ist, wenn das Radikal von \(\ell\) in \({\mathfrak g}\) in keinem echten rationalen Ideal von \({\mathfrak g}\) enthalten ist. Die eine Richtung ergibt sich aus einer direkten Integralzerlegung von \(\pi_\ell |_\Gamma\) in monomiale Darstellungen. (Die Autoren geben sogar Kriterien an, unter denen die in dieser Integralzerlegung auftretenden monomialen Darstellungen irreduzibel sind.) Beim Beweis der anderen Richtung wird ein Resultat von C. C. Moore über die Zerlegung der quasiregulären Darstellung \(\text{Ind}^G_\Gamma 1\) in irreduzible Darstellungen sowie ein Irreduzibilitätskriterium von Cowling und Steger verwendet. Die Autoren beweisen ein weiteres Resultat: Für Darstellungen \(\pi,\rho\in\widehat G\) mit irreduziblen Einschränkungen \(\pi|_\Gamma\), \(\rho|_\Gamma\) sind \(\pi |_\Gamma\) und \(\rho|_\Gamma\) genau dann äquivalent, wenn sich \(\pi\) und \(\rho\) nur durch einen Charakter von \(G\) unterscheiden, der auf \(\Gamma\) trivial ist. -- Schließlich erläutern die Autoren ihre Resultate am Beispiel der dreidimensionalen Heisenberg-Gruppe sowie am Beispiel der Gruppe \(G_{5,4}\).
scientific article; zbMATH DE number 1389447
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