A multiplicity result for the Yamabe problem on \(S^n\)
type: Item
instance of: scholarly article
title: A multiplicity result for the Yamabe problem on \(S^n\)
zbMATH Open document ID: 0949.53028
author: Andrea Malchiodi
author: A. Ambrosetti
published in: Journal of Functional Analysis
publication date: 2000-12-05T00:00:00Z
review text: Le but de l'article est de mettre en évidence des variétés riemanniennes compactes pour lesquelles le problème de Yamabe admet plusieurs solutions. Partant de la sphère les auteurs considèrent une perturbation \(g= g_0+ \varepsilon f\) de la métrique canonique \(g_0\). \(f\) étant choisie judicieusement, ils montrent que le problème de Yamabe pour la variété \((S_n,g)\), \(n\geq 6\), admet au moins deux solutions distinctes lorsque \(\varepsilon\) est suffisamment petit. Par la projection stéréographique, le problème est ramené à un problème sur \(\mathbb{R}^n\) au voisinage de la métrique euclidienne. Les perturbations tout d'abord envisagées sur \(\mathbb{R}^n \) sont données par \(f(x)=h(x)+k(x-y)\) avec \(h\) et \(k\) à support compact et \(|y|\) grand. Le premier auteur a mis au point récemment une méthode abstraite de perturbations. Cette méthode ne peut pas être appliquée directement ici car pour le problème de Yamabe le premier terme du développement en fonction de \(\varepsilon\) ne remplit pas les conditions voulues par la méthode, le développement doit être fait à l'ordre 2 ce qui complique beaucoup. La méthode adaptée à ce cas précis permet de prouver le résultat mentionné plus haut. Celui-ci est généralisée \(h\) et \(k\) qui proviennent de métriques sur \(S_n\) n'ont pas à être à support compact. Les hypothèses requises sont \(n\geq 6\), et les tenseurs de Weyl de \(h\) et de \(k\) non identiquement nuls.
Mathematics Subject Classification ID: 53C21
zbMATH DE Number: 1389448
zbMATH Keywords: Yamabe problem
zbMATH Keywords: scalar curvature
zbMATH Keywords: perturbation
reviewed by: Thierry Aubin
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: jfan.1999.3458
OpenAlex ID: W2011216809
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DOI: 10.1006/JFAN.1999.3458
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description: scientific article; zbMATH DE number 1389448