On the \(K_0\) of a \(p\)-adic group
Suivant une idée de Bernstein, l'auteur étudie très soigneusement et d'un double point de vue le groupe de Grothendieck \(K_0(\mathcal H)\) associé à l'algèbre de Hecke d'un groupe réductif \(G\) sur un corps local non archimédien: du point de vue combinatoire, d'une part, en termes de séries discrètes de sous-groupes de Levi ayant un bon comportement relativement à l'induction et la restriction paraboliques; du point de vue topologique, d'autre part, à partir de la variété algébrique complexe des caractères infinitésimaux de \(G\). Plus précisément, soient \(G\) un groupe réductif sur un corps \(p\)-adique \(F\) de caractéristique nulle et \(\mathcal H= \mathcal H(G)\) l'algèbre de convolution des mesures sur \(G\) localement constantes à support compact; \(\bar{\mathcal H}(G) = \mathcal H / [\mathcal H , \mathcal H]\) son quotient \(G\)-invariant; \(\mathcal K(G)\) le groupe de Grothendieck des \(G\)-modules projectifs de type fini et \(\mathcal R(G)\) celui des modules de longueur finie. Une fois choisi un ensemble de sous-groupes de Levy standard pour \(G\), les foncteurs normalisés de restriction et d'induction paraboliques permettent de munir \(\mathcal K\), \(\mathcal R\) et \(\bar{\mathcal H}\) d'une structure de système de Hopf. Leurs filtrations combinatoires sont ainsi des filtrations dans la catégorie des systèmes de Hopf. Et par une légère généralisation des résultats de \textit{J. Bernstein, P. Deligne} et \textit{D. Kazhdan} [J. Analyse Math. 47, 180-192 (1986; Zbl 0634.22011)], l'auteur montre que les gradués complexes de \(\mathcal K_\mathbb{C} = \mathbb{C} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal K(G)\) et \(\mathcal R_\mathbb{C} = \mathbb{C} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal R(G)\) conduisent à des systèmes triviaux, puis que l'on a: \(\mathcal K_\mathbb{C} \simeq \text{ gr}_\ast(\mathcal K_\mathbb{C}) \simeq \text{ gr}^\ast(\mathcal K_\mathbb{C})\). Introduisant alors la filtration \textit{à la Harish-Chandra} de l'ensemble des classes de conjugaison régulières semi-simples et étudiant sa compatibilité avec les filtrations combinatoires précédentes, il est amené à étendre le résultat conjecturé par Kazhdan et établi par \textit{P. Schneider} et \textit{U. Stuhler} pour les groupes réductifs de centre compact [Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 85, 97-191 (1997; Zbl 0892.22012)] sur la composée \(\text{Rg} \circ \text{EP}\) de l'application d'Euler-Poincaré \(\text{ EP} : \mathcal R(G) \rightarrow \mathcal K(G)\) et de l'application rang \(\text{Rg} : \mathcal K(G) \rightarrow \bar{\mathcal H}(G)\). L'approche topologique consiste à appliquer à la variété algébrique complexe \(\Theta(G)\) des caractères infinitésimaux du groupe \(G\) le \textit{dévissage} de \textit{A. Borel} et \textit{J.-P. Serre} [Bull. Soc. Math. France 86, 97-136 (1958; Zbl 0091.33004)] et à étudier la filtration ainsi obtenue à la lumière des outils combinatoires. Regardant chaque \(G\)-module de type fini \(V\) comme module sur l'algèbre \({\mathfrak Z}(G)\) des fonctions régulières sur \(\Theta(G)\), l'auteur montre alors que la filtration topologique \(F^\bullet \mathcal K_\mathbb{C}(G)\) définie par \(F^i \mathcal K_\mathbb{C}(G) = \text{ Im}\{\mathcal K(\text{ Mod}_i(G) \rightarrow \mathcal K(G))\}\), où \(\text{Mod}_i(G)\) est la catégorie abélienne engendrée par les \(G\)-modules de type fini \(V\) pour lesquels le faisceau quasi-cohérent associé a un support de dimension au plus \(i\), coïncide avec la filtration combinatoire \(\mathcal K^\bullet_\mathbb{C}(G)\). Il en déduit rigoureusement d'importantes conséquences pour la \(K\)-théorie, notamment l'injectivité de l'application \(\text{ Rg}\) et le fait que \(\mathcal K_\mathbb{Q}(G)\) est \(\mathbb{Q}\)-engendré par les représentations induites des sous-groupes ouverts compacts de \(G\), ainsi qu'une description explicite de la structure de système de Hopf de \(\mathcal K_\mathbb{C}(G)\). L'auteur adapte ensuite ce qui précéde au cas de \(\bar{\mathcal H}\), ce qui lui permet de préciser les résultats de \textit{Y. Z. Flicker} [Proc. Symp. Math. 58, 171-196 (1995; Zbl 0840.22031)]: ici encore, filtrations combinatoire et topologique coïncident, mais la description explicite de \(\bar{\mathcal H}(G)\) en termes de structure de système de Hopf n'est plus compatible avec l'induction ni la restriction paraboliques. Dans la dernière section enfin, l'auteur aborde indépendamment du reste de l'article l'étude des représentations de \(G\) sur des corps \textit{assez gros} (en fait des corps de fonctions sur des variétés algébriques complexes) et s'intéresse en particuliers aux caractères infinitésimaux \textit{discrets} et aux algèbres qui leurs sont attachées.
scientific article; zbMATH DE number 1443595