On the \(K_0\) of a \(p\)-adic group
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the \(K_0\) of a \(p\)-adic group
zbMATH Open document ID: 0981.22004
published in: Inventiones Mathematicae
publication date: 2002-03-13T00:00:00Z
review text: Suivant une idée de Bernstein, l'auteur étudie très soigneusement et d'un double point de vue le groupe de Grothendieck \(K_0(\mathcal H)\) associé à l'algèbre de Hecke d'un groupe réductif \(G\) sur un corps local non archimédien: du point de vue combinatoire, d'une part, en termes de séries discrètes de sous-groupes de Levi ayant un bon comportement relativement à l'induction et la restriction paraboliques; du point de vue topologique, d'autre part, à partir de la variété algébrique complexe des caractères infinitésimaux de \(G\). Plus précisément, soient \(G\) un groupe réductif sur un corps \(p\)-adique \(F\) de caractéristique nulle et \(\mathcal H= \mathcal H(G)\) l'algèbre de convolution des mesures sur \(G\) localement constantes à support compact; \(\bar{\mathcal H}(G) = \mathcal H / [\mathcal H , \mathcal H]\) son quotient \(G\)-invariant; \(\mathcal K(G)\) le groupe de Grothendieck des \(G\)-modules projectifs de type fini et \(\mathcal R(G)\) celui des modules de longueur finie. Une fois choisi un ensemble de sous-groupes de Levy standard pour \(G\), les foncteurs normalisés de restriction et d'induction paraboliques permettent de munir \(\mathcal K\), \(\mathcal R\) et \(\bar{\mathcal H}\) d'une structure de système de Hopf. Leurs filtrations combinatoires sont ainsi des filtrations dans la catégorie des systèmes de Hopf. Et par une légère généralisation des résultats de \textit{J. Bernstein, P. Deligne} et \textit{D. Kazhdan} [J. Analyse Math. 47, 180-192 (1986; Zbl 0634.22011)], l'auteur montre que les gradués complexes de \(\mathcal K_\mathbb{C} = \mathbb{C} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal K(G)\) et \(\mathcal R_\mathbb{C} = \mathbb{C} \otimes_\mathbb{Z} \mathcal R(G)\) conduisent à des systèmes triviaux, puis que l'on a: \(\mathcal K_\mathbb{C} \simeq \text{ gr}_\ast(\mathcal K_\mathbb{C}) \simeq \text{ gr}^\ast(\mathcal K_\mathbb{C})\). Introduisant alors la filtration \textit{à la Harish-Chandra} de l'ensemble des classes de conjugaison régulières sem…
reviewed by: Jean-François Jaulent
Mathematics Subject Classification ID: 22E50
Mathematics Subject Classification ID: 19A99
zbMATH DE Number: 1443595
zbMATH Keywords: Hecke algebra
zbMATH Keywords: p-adic groups
zbMATH Keywords: Levi structure
author: J.-F. Dat
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s002220050360
OpenAlex ID: W2095586984
DOI: 10.1007/S002220000054
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description: scientific article; zbMATH DE number 1443595