Special orthogonal integer bases and representations by sums of squares
Summary: Beim Erstellen von Geometrieaufgaben im Raum möchte man manchmal drei allgemeine, paarweise orthogonale Gittervektoren gleicher, ganzzahliger Länge zur Hand haben. Wie man solche in \(\mathbb R^3\) finden kann und zu welchen Längen, wurde in [the author, Elem. Math. 71, No. 3, 100--108 (2016; Zbl 1354.11047)] studiert. In höherdimensionalen Räumen lassen sich Lösungen desselben Problems zwar leicht aus denjenigen in \(\mathbb R^2\) und \(\mathbb R^3\) konstruieren, aber die dabei auftretenden Vektoren haben zahlreiche Nullen als Komponenten. Eine wirklich allgemeine Lösung ist weniger offensichtlich. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, wie man aus einer Darstellung der natürlichen Zahl \(K\) als Summe von \(n\) Quadraten ungleich 0, \(n\) paarweise orthogonale Gittervektoren ohne eine Komponente 0 der Länge \(K\) erhält. Das geometrische Problem reduziert sich damit auf ein zahlentheoretisches. Zunächst wird deshalb untersucht, welche natürlichen Zahlen \(z\) uberhaupt als Summe von \(n\) Quadraten ungleich 0 geschrieben werden können. Dabei zeigt sich, dass sich für \(n \geq 5\) nur ganz wenige Zahlen \(z > n\) nicht in dieser Weise darstellen lassen, und dass es sowohl zum geometrischen, als auch zum zahlentheoretischen Problem im Fall \(n = 4\) viel mehr zu sagen gibt.
scientific article; zbMATH DE number 7364016