Special orthogonal integer bases and representations by sums of squares
type: Item
instance of: scholarly article
title: Special orthogonal integer bases and representations by sums of squares
zbMATH Open document ID: 1478.11059
DOI: 10.4171/EM/423
author: Peter Thurnheer
published in: Elemente der Mathematik
publication date: 2021-06-28T00:00:00Z
review text: Summary: Beim Erstellen von Geometrieaufgaben im Raum möchte man manchmal drei allgemeine, paarweise orthogonale Gittervektoren gleicher, ganzzahliger Länge zur Hand haben. Wie man solche in \(\mathbb R^3\) finden kann und zu welchen Längen, wurde in [the author, Elem. Math. 71, No. 3, 100--108 (2016; Zbl 1354.11047)] studiert. In höherdimensionalen Räumen lassen sich Lösungen desselben Problems zwar leicht aus denjenigen in \(\mathbb R^2\) und \(\mathbb R^3\) konstruieren, aber die dabei auftretenden Vektoren haben zahlreiche Nullen als Komponenten. Eine wirklich allgemeine Lösung ist weniger offensichtlich. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, wie man aus einer Darstellung der natürlichen Zahl \(K\) als Summe von \(n\) Quadraten ungleich 0, \(n\) paarweise orthogonale Gittervektoren ohne eine Komponente 0 der Länge \(K\) erhält. Das geometrische Problem reduziert sich damit auf ein zahlentheoretisches. Zunächst wird deshalb untersucht, welche natürlichen Zahlen \(z\) uberhaupt als Summe von \(n\) Quadraten ungleich 0 geschrieben werden können. Dabei zeigt sich, dass sich für \(n \geq 5\) nur ganz wenige Zahlen \(z > n\) nicht in dieser Weise darstellen lassen, und dass es sowohl zum geometrischen, als auch zum zahlentheoretischen Problem im Fall \(n = 4\) viel mehr zu sagen gibt.
Mathematics Subject Classification ID: 11E25
zbMATH DE Number: 7364016
zbMATH Keywords: special orthogonal integer bases
zbMATH Keywords: sums of squares
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q5556574
cites work: Q4541796
full work available at URL: https://doi.org/10.4171/em/423
OpenAlex ID: W3122707156
description: scientific article; zbMATH DE number 7364016