DLMF:4.37.E16
type: Item
Digital Library of Mathematical Functions ID: 4.37.E16
DLMF defining formula: arcsinh ⁡ z = ln ⁡ ( ( z 2 + 1 ) 1 / 2 + z ) , <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b"> <apply id="p1.1.m1.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"> <eq id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/> <apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5"> <csymbol cd="dlmf" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.8">hyperbolic-inverse-sine</csymbol> <ci id="p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4">𝑧</ci> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.7.2"> <ln id="p1.1.m1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.2"/> <apply id="p1.1.m1.1.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5"> <plus id="p1.1.m1.1.3.5.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.8"/> <apply id="p1.1.m1.1.3.5.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.10"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.3.5.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.10">superscript</csymbol> <apply id="p1.1.m1.1.3.5.10.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.10.2"> <plus id="p1.1.m1.1.3.5.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.4"/> <apply id="p1.1.m1.1.3.5.10.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.10.2.2.1"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.3.5.10.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.10.2.2.1">superscript</csymbol> <ci id="p1.1.m1.1.3.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.2">𝑧</ci> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.3.1">2</cn> </apply> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.5.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.5">1</cn> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.3.5.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.7.1"> <divide id="p1.1.m1.1.3.5.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.7.1.2"/> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.5.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.7.1.1">1</cn> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.5.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.7.1.3">2</cn> </apply> </apply> <ci id="p1.1.m1.1.3.5.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.5.9">𝑧</ci> </apply> </apply> </apply> </annotation-xml> {\displaystyle{\displaystyle\operatorname{arcsinh}z=\ln\left((z^{2}+1)^{1/2}+z% \right),}}
constraint: z / i ∈ ℂ ∖ ( - ∞ , - 1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b"> <apply id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20"> <in id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/> <apply id="p1.1.m1.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1"> <divide id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/> <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑧</ci> <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑖</ci> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.20.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2"> <union id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/> <apply id="p1.1.m1.1.20.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1"> <setdiff id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6"/> <complexes id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2"/> <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.20.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1.1"> <apply id="p1.1.m1.1.20.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1.1.2"> <minus id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/> <infinity id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9"/> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.20.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.1.1.3"> <minus id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11"/> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">1</cn> </apply> </interval> </apply> <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.20.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.2.2"> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">1</cn> <infinity id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18"/> </interval> </apply> </apply> </annotation-xml> {\displaystyle{\displaystyle z/i\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,-1)\cup(1,% \infty)}}
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