Measure theory in the geometry of numbers
type: Item
instance of: scholarly article
title: Measure theory in the geometry of numbers
zbMATH Open document ID: 0215.35104
DOI: 10.1007/BF02564246
published in: Acta Mathematica
publication date: 1959-01-01T00:00:00Z
review text: Es sei \(L\) der Raum aller Gitter \(\Lambda\) mit Determinante \(1\) im \(R^n\). In \(L\) existiert nach C. L. Siegel ein Maß \(m\) mit \(m(L) =1\). Es sei nun \(S\) eine Borelmenge im \(R^n\), \(V(S)\) sein Volumen und \(A(S)\) die Menge aller zulässigen Gitter von \(S\) mit Determinante~\(1\). Es wird nun für \(m(A(S))\) eine explizite Formel hergeleitet unter der Voraussetzung, daß \(S\) beschränkt und Borel-integrierbar ist. Diese Formel, welche aus einer unendlichen Reihe von gewissen Integralen besteht, ist sehr kompliziert und stützt sich auf einen tiefliegenden Mittelwertsatz, der im ersten Kapitel der Arbeit bewiesen wird. Wegen der Kompliziertheit der Formulierung, muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden. Im allgemeinen ist \(m(A(S))\) auf Grund der abgeleiteten Formel schwer berechenbar. Wenn es sich um Sternkörper oder Ringkörper im \(R^2\) handelt, reduziert sich die Formel auf eine endliche Summe. Dabei ist \(S\) ein Ringbereich, wenn ein Sternbereich \(S^*\) existiert, so daß \(S =S^*- \kappa S^*\) mit \(0\le \kappa\le 1\). Ein Bereich \(H\) heißt Halbbereich, wenn niemals zugleich \(x\in H\) und \(-x\in H\). Man kann bei \(m(A(S))\) immer annehmen, daß \(S\) ein Halbbereich ist. Sei im \(R^2\) \[\Delta_0(S) = 2 \sup_{X\in S} F(0, X_1,X_2),\] wo \(F(X_3, X_1, X_2)\) die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten \(X_3, X_1, X_2\) ist, dann wird z. B. gezeigt: Satz 6. Für Halbsternbereiche \(S^*\) im \(R^2\) sei \(\Delta_0(S^2) \le 1\), dann ist \(m(A(S^*)) = 1 - V (S^*)/\zeta(2)\). Ist \(\Delta(S)\) die kritische Determinante von \(S\), dann wird in Verschärfung des Satzes von Minkowski-Hlawka z.B. gezeigt: Es ist \(Q(S) = V(S)/\Delta(S) >1\) für jede Borelmenge. An weiteren Beispielen sei noch erwähnt: Es sei \(S\) der Kreisring, \(\rho\le \vert x\vert\le R\), dann ist für \(0\le R\le 1\) \[ m(A(S)) = 1 - \frac{3}{\pi} (R^2 - \rho^2)\left(1+\frac1{2^2} + \ldots + \frac1{(w-1)^2} + \frac1{R^2} \frac{R^2}{R^2 - \rho^2}\right) \] \((w = \left[\frac{R}{R…
Mathematics Subject Classification ID: 11H06
Mathematics Subject Classification ID: 11H16
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zbMATH DE Number: 3342065
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author: Wolfgang M. Schmidt
description: scientific article