Measure theory in the geometry of numbers
Es sei \(L\) der Raum aller Gitter \(\Lambda\) mit Determinante \(1\) im \(R^n\). In \(L\) existiert nach C. L. Siegel ein Maß \(m\) mit \(m(L) =1\). Es sei nun \(S\) eine Borelmenge im \(R^n\), \(V(S)\) sein Volumen und \(A(S)\) die Menge aller zulässigen Gitter von \(S\) mit Determinante~\(1\). Es wird nun für \(m(A(S))\) eine explizite Formel hergeleitet unter der Voraussetzung, daß \(S\) beschränkt und Borel-integrierbar ist. Diese Formel, welche aus einer unendlichen Reihe von gewissen Integralen besteht, ist sehr kompliziert und stützt sich auf einen tiefliegenden Mittelwertsatz, der im ersten Kapitel der Arbeit bewiesen wird. Wegen der Kompliziertheit der Formulierung, muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden. Im allgemeinen ist \(m(A(S))\) auf Grund der abgeleiteten Formel schwer berechenbar. Wenn es sich um Sternkörper oder Ringkörper im \(R^2\) handelt, reduziert sich die Formel auf eine endliche Summe. Dabei ist \(S\) ein Ringbereich, wenn ein Sternbereich \(S^*\) existiert, so daß \(S =S^*- \kappa S^*\) mit \(0\le \kappa\le 1\). Ein Bereich \(H\) heißt Halbbereich, wenn niemals zugleich \(x\in H\) und \(-x\in H\). Man kann bei \(m(A(S))\) immer annehmen, daß \(S\) ein Halbbereich ist. Sei im \(R^2\) \[\Delta_0(S) = 2 \sup_{X\in S} F(0, X_1,X_2),\] wo \(F(X_3, X_1, X_2)\) die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten \(X_3, X_1, X_2\) ist, dann wird z. B. gezeigt: Satz 6. Für Halbsternbereiche \(S^*\) im \(R^2\) sei \(\Delta_0(S^2) \le 1\), dann ist \(m(A(S^*)) = 1 - V (S^*)/\zeta(2)\). Ist \(\Delta(S)\) die kritische Determinante von \(S\), dann wird in Verschärfung des Satzes von Minkowski-Hlawka z.B. gezeigt: Es ist \(Q(S) = V(S)/\Delta(S) >1\) für jede Borelmenge. An weiteren Beispielen sei noch erwähnt: Es sei \(S\) der Kreisring, \(\rho\le \vert x\vert\le R\), dann ist für \(0\le R\le 1\) \[ m(A(S)) = 1 - \frac{3}{\pi} (R^2 - \rho^2)\left(1+\frac1{2^2} + \ldots + \frac1{(w-1)^2} + \frac1{R^2} \frac{R^2}{R^2 - \rho^2}\right) \] \((w = \left[\frac{R}{R - \rho}\right]\)). An Abschätzungen für großes \(n\) sei hervorgehoben: Ist \(V\le n -1\) mit \(n>n_0(\varepsilon)\), dann ist \[ m(A(S)) = e^{-V}(1-R),\quad \vert R\vert < V^{n-1}n^{-n+1}e^{V+n}(1+\varepsilon) + \varepsilon. \] Eine wichtige Folgerung ist folgende Verschärfung des Satzes von Minkowski-Hlawka: Ist \(n >n_0\), dann ist \(Q(S) = V(S)/\Delta(S) > n\cdot r -2\) wobei \(0,278 < r < 0,279\). Im Kapitel 6 der Arbeit wird das Maß der Menge aller Gitter \(\Lambda\) untersucht, welche unendlich viele Gitterpunkte in \(S\) haben. Dabei wird die Voraussetzung \(\det(\Delta) =1\) fallen gelassen. Dann muß das Maß anders definiert werden. Im Kapitel 7 wird \(M(S) = \int \varepsilon(S,\Delta) \,dm\) betrachtet, dabei ist \(\varepsilon(S,\Delta)\) die Dichte der Menge der Punkte, die in keiner der Mengen \(S+ g\) \((g\in \Lambda)\) liegen. Es handelt sich also um Probleme, welche mit der Überdeckung des \(R^n\) durch das Figurengitter \(F(S,\Lambda) = (S + g)\), \((g\in \Lambda)\) zusammenhängen. Es sei weiters ein Beispiel angeführt: Es sei \(K\) konvex im \(R^2\), \[\Delta(K) = 2\sup F(X_1X_2X_3) \le 1,\] dann ist \(M(S) =1 - V + V^2/2\zeta(2)\). Ist \(V \le n -1\) und \(n >n_0(\varepsilon)\), so ist \[ M(S) \le e^{-V} (1 -R),\quad \vert R\vert < V^{n-1}n^{-n+1}e^{V+n}(1+\varepsilon) + \varepsilon. \] Folgerung: Es sei \(n >n_0\), dann gibt es zu jedem konvexen Körper \(K\) in \(R^n\) eine Überdeckung des Raumes durch Figurengitter \(F(K,\Lambda)\), wobei für die Dichte der Überdeckung \((K,\Lambda) = V(K)/\det \Lambda\le (1,75\ldots)^n\) gilt. Die vorliegende Arbeit enthält eine Fülle weiterer Resultate. Für die Formulierung muß auf die Arbeit verwiesen werden. Sie stellt den vorläufigen Abschluß einer Reihe von Untersuchungen zur Geometrie der Zahlen dar, welche mit den Namen Siegel, C. A. Rogers und W. Schmidt verbunden sind.
measure of all lattices having infinitely many lattice points in the Borel set
covering of n-dimensional Euclidean space
scientific article