Manifolds without conjugate points.
Erster Teil. -Eine quadratische Form \(ds^2=F^2(x,y)(dx^2+dy^2)\) liegt in der \((x,y)\)-Ebene \(\boldsymbol\theta\) vor; es wird angenommen, daß \(F\) zur Klasse \(C^3\) gehört und die Ungleichungen \(a\leqq F(x,y)\leqq b\) (\(a\) und \(b\) feste positive Zahlen) erfüllt; jeder solchen Funktion \(F\) entspricht eine zweidimensionale Riemannsche Fläche \(M(F)\) vom sogenannten ``euklidischen Typ''. Bleibt \(F\) invariant gegenüber der durch zwei linear unabhängige Translationen \(T_1\) und \(T_2\) erzeugten Gruppe \(G\) (Annahme~\textbf{I}), dann gilt für die doppeltperiodische Fläche \(M(F,\mathbf{I})\): Jede \(ds\)-Minimante in der Ebene \(\boldsymbol\theta\) (geodätische Linie der ``Klasse \(A\)'' auf \(M\)) verläuft zwischen zwei parallelen Geraden mit einer nur von \(F\) abhängigen Entfernung \(R\) (vgl. \textit{G.~A.~Hedlund}, Ann. Math., Princeton, (2) 33 (1932), 719-739; F.~d.~M.~58\(_{\text{II}}\), 1256). Identifiziert man die bezüglich \(G\) kongruenten Punkte, so entsteht eine geschlossene orientierbare Fläche \(M(F,G)\) vom Geschlecht 1, auf deren Geodätische sich der wohlbekannte Rückkehrsatz von Poincaré anwenden läßt (vgl. \textit{G.~A.~Hedlund}, Bull. Amer. math. Soc. 45 (1939), 241-260; F.~d.~M.~65, 793). Dann führen Verf. die Annahme (\textbf{II}) ein: ``keine Geodätische trägt Paare konjugierter Punkte (oder: jede Geodätische gehört zur Klasse \(A\))'' und behaupten: Auf einer \(M(F,\mathbf{I},\text\textbf{II})\) ist jede durch zwei kongruente Punkte gehende Geodätische periodisch; zwei Geodätische, die in beschränkter Entfernung verlaufen, schneiden einander nicht; zu jedem Punkt \(P\) und jeder \(P\) nicht enthaltenden Geodätischen \(g\) existiert eine und nur eine Geodätische durch \(P\), die \(g\) nicht schneidet. Diese Ergebnisse werden auf die zweidimensionalen abgeschlossenen Riemannschen Flächen von der Klasse \(C^3\) angewandt, deren Geodätische kein Paar konjugierter Punkte zulassen, und die entweder orientierbar und vom Geschlecht 1 (topologischer Typ: der Torus) oder nichtorientierbar und vom Geschlecht 2 (topologischer Typ: der Kleinsche Schlauch) sind. Bedeutet (\textbf{III}) eine Annahme über das Nichtvorhandensein von Brennpunkten, so gilt der Satz: Die Gaußsche Krümmung einer Fläche \(M(F,\mathbf{I},\text\textbf{II},\text\textbf{III})\) ist identisch Null. (\textbf{II}) wie (\textbf{III}) sind Konsequenzen folgender Annahme: Zu jeder Geodätischen \(g\) und jedem nicht auf \(g\) liegenden Punkt \(P\) existiert genau eine Geodätische, die \(P\) enthält und zu \(g\) orthogonal ist. Zweiter Teil. -Im Innern \(\boldsymbol\Psi\) des Einheitskreises \(U(y^2+v^2<1)\) definiert die Metrik \(ds^2=4f^2(u,v)(1-u^2-v^2)^{-2}(du^2+dv^2)\), wobei \(f(u,v)\) von der Klasse \(C^2\) die Ungleichungen \(a\leqq f(u,v)\leqq b\) (\(a\), \(b\) feste positive Zahlen) erfüllt, eine zweidimensionale Riemannsche Fläche \(M(f)\) vom sogenannten ``hyperbolischen Typ''. Der Klasse \(A\) ihrer Geodätischen entspricht analog wie im ersten Teil der Arbeit eine Konstante \(R\) (vgl. \textit{M.~Morse}, Trans. Amer. math. Soc. 26 (1924), 25-60; F.~d.~M.~50, 466). Bleibt \(f(u,v)\) gegenüber einer eigentlich diskontinuierlichen Gruppe \(G\) von anallagmatischen, \(\boldsymbol\Psi\) erhaltenden Transformationen invariant, so entsteht durch Identifizierung kongruenter Punkte eine Fläche \(M(f,G)\). Aus den Annahmen von Poissonscher Stabilität (\textbf{I}) und Nichtvorhandensein konjugierter Punkte (\textbf{II}) auf \(M(f)\) folgen: Die (in Bezug auf \(\boldsymbol\Psi\)) hyperbolische Entfernung zweier einander schneidenden Geodätischen bleibt nicht beschränkt; es gibt transitive Geodätische, d.~h. Geodätische, deren (Punkt-Richtung) Elemente überall dicht im Raum der (Punkt-Richtung) Elemente aller Geodätischen sind (vgl. \textit{M.~Morse}, J. Math. pur. appl., Paris, (9) 14 (1935), 49-71; F.~d.~M.~61\(_{\text{II}}\), 1439; \textit{G.~A.~Hedlund}, Ann. Math., Princeton, (2) 37 (1936), 534-542; F.~d.~M.~62\(_{\text{I}}\), 862). Korollar: Die Existenz transitiver Geodätischen ist auf jeder geschlossenen zweidimensionalen Riemannschen Fläche von der Klasse \(C^3\) gesichert, die entweder orientierbar und vom Geschlecht \(>1\) oder nichtorientierbar und vom Geschlecht \(>2\) ist, wenn nur jede Geodätische kein Paar konjugierter Punkte enthält.
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