Manifolds without conjugate points.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Manifolds without conjugate points.
zbMATH Open document ID: 68.0442.02
DOI: 10.1090/S0002-9947-1942-0006479-X
author: Marston Morse
author: Gustav A. Hedlund
published in: Transactions of the American Mathematical Society
publication date: 1942-01-01T00:00:00Z
review text: Erster Teil. -Eine quadratische Form \(ds^2=F^2(x,y)(dx^2+dy^2)\) liegt in der \((x,y)\)-Ebene \(\boldsymbol\theta\) vor; es wird angenommen, daß \(F\) zur Klasse \(C^3\) gehört und die Ungleichungen \(a\leqq F(x,y)\leqq b\) (\(a\) und \(b\) feste positive Zahlen) erfüllt; jeder solchen Funktion \(F\) entspricht eine zweidimensionale Riemannsche Fläche \(M(F)\) vom sogenannten ``euklidischen Typ''. Bleibt \(F\) invariant gegenüber der durch zwei linear unabhängige Translationen \(T_1\) und \(T_2\) erzeugten Gruppe \(G\) (Annahme~\textbf{I}), dann gilt für die doppeltperiodische Fläche \(M(F,\mathbf{I})\): Jede \(ds\)-Minimante in der Ebene \(\boldsymbol\theta\) (geodätische Linie der ``Klasse \(A\)'' auf \(M\)) verläuft zwischen zwei parallelen Geraden mit einer nur von \(F\) abhängigen Entfernung \(R\) (vgl. \textit{G.~A.~Hedlund}, Ann. Math., Princeton, (2) 33 (1932), 719-739; F.~d.~M.~58\(_{\text{II}}\), 1256). Identifiziert man die bezüglich \(G\) kongruenten Punkte, so entsteht eine geschlossene orientierbare Fläche \(M(F,G)\) vom Geschlecht 1, auf deren Geodätische sich der wohlbekannte Rückkehrsatz von Poincaré anwenden läßt (vgl. \textit{G.~A.~Hedlund}, Bull. Amer. math. Soc. 45 (1939), 241-260; F.~d.~M.~65, 793). Dann führen Verf. die Annahme (\textbf{II}) ein: ``keine Geodätische trägt Paare konjugierter Punkte (oder: jede Geodätische gehört zur Klasse \(A\))'' und behaupten: Auf einer \(M(F,\mathbf{I},\text\textbf{II})\) ist jede durch zwei kongruente Punkte gehende Geodätische periodisch; zwei Geodätische, die in beschränkter Entfernung verlaufen, schneiden einander nicht; zu jedem Punkt \(P\) und jeder \(P\) nicht enthaltenden Geodätischen \(g\) existiert eine und nur eine Geodätische durch \(P\), die \(g\) nicht schneidet. Diese Ergebnisse werden auf die zweidimensionalen abgeschlossenen Riemannschen Flächen von der Klasse \(C^3\) angewandt, deren Geodätische kein Paar konjugierter Punkte zulassen, und die entweder orientierbar und vom Geschlecht 1 (to…
zbMATH DE Number: 2501248
Wikidata QID: Q56442636
MaRDI profile type: Publication
cites work: Geodesics on a two-dimensional Riemannian manifold with periodic coefficients
cites work: Two-dimensional manifolds and transitivity
cites work: Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche
cites work: Riemannian manifolds in the large
description: scientific article