On generalized rings.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On generalized rings.
zbMATH Open document ID: 67.0088.02
DOI: 10.2307/2371278
author: D. C. Murdoch
author: Øystein Ore
published in: American Journal of Mathematics
publication date: 1941-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. betrachten verallgemeinerte Ringe \(\mathfrak{R}\). Es sind dies Systeme, in denen zwei als Addition und Multiplikation bezeichnete und geschriebene Operationen möglich sind. Bezüglich der Addition sollen die Elemente eine (nicht notwendig kommutative) Gruppe bilden, während über die Multiplikation zunächst nichts vorausgesetzt sei. Dies genügt schon, um in Kap. I den Begriff der Rechts- und Linksideale in üblicher Art zu entwickeln. Bei zwei Idealen \(\mathfrak{a}\) und \(\mathfrak{b}\) sei \(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}\) in üblicher Bezeichnungsweise der Durchschnitt, während die Vereinigung \(\mathfrak{a} \cup \mathfrak{b}\) das mengentheoretisch wenigst umfassende Ideal derselben Art -- je nach dem Zusammenhang Links-, Rechts-, zweiseitiges Ideal --, das \(\mathfrak{a}\) und \(\mathfrak{b}\) als Teilmengen enthält, bedeutet. Gilt noch das abgeschwächte Distributivgesetz I: \(c (a + b) = a_1 + b_1\) wo \(a_1\) und \(b_1\) bzw. zu den von \(a\) und \(b\) erzeugten Linksidealen gehören, so genügt dies, um die Dedekindsche Relation \(\mathfrak{c} \cap (\mathfrak{a} \cup \mathfrak{b}) = \mathfrak{a} \cup (\mathfrak{c} \cap \mathfrak{b})\), \(\mathfrak{c} \supset \mathfrak{a}\) für Linksideale zu zeigen. Mit dem über I noch hinausgehenden schwachen Distributivgesetz \(a(b+c)=ab+c_1\) wo \(c_1\) zu dem von \(c\) erzeugten Linksideal gehört, gilt für ein gegebenes Linksideal \(\mathfrak{a}\) aus \(\mathfrak{R}\), daß \(\mathfrak{R}\) zu \(\mathfrak{R}/\mathfrak{a}\) homomorph ist. Es folgen noch einige Bemerkungen über Operatoren an Idealen. Kap. II behandelt zunächst Idealprodukte. Seien Linksideale \(\mathfrak{a}\), \(\mathfrak{b}\) gegeben. Das durch alle Produkte \(ab\), wo \(a \in \mathfrak{a}\), \(b \in \mathfrak{b}\) ist, erzeugte Linksideal heißt das Produkt ab. Daneben tritt noch das sogenannte Bilinearprodukt \(\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{b}\) auf, bestehend aus allen Elementen \(\sum a_ib_i\) mit \(a_i \in \mathfrak{a}\), \(b_i \in \mathfrak{b}\). D…
zbMATH DE Number: 2502266
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/2371278
OpenAlex ID: W2329913714
description: scientific article