Two estimates connected with the \((\alpha, \beta)\)-hypothesis.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Two estimates connected with the \((\alpha, \beta)\)-hypothesis.
zbMATH Open document ID: 67.0125.01
DOI: 10.2307/1968916
published in: Annals of Mathematics. Second Series
publication date: 1941-01-01T00:00:00Z
review text: Es seien \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) Mengen nicht negativer ganzer Zahlen, \(\mathfrak C\) ihre Summe, \(A (x)\), \(B (x)\), \(C (x)\) in bekannter Bezeichnungsweise die Anzahlen der Elemente \(\leqq x\). Im Hinblick auf die bekannte Vermutung über die Dichte von \(\mathfrak C\) (\(\gamma \geqq \alpha + \beta\), \(\alpha = \delta (\mathfrak A )\), \(\beta = \delta (\mathfrak B )\), \(\gamma = \delta (\mathfrak C )\)), gibt Verf. zwei Abschätzungen für \(C (n)\). Man bestimme nämlich die ganzen Zahlen \(g_i\), \(k_i\) folgendermaßen: \(g_0 = 0 \leqq k_0 < g_1 < k_1 < g_2 < k_2 < \cdots\), \(\{g_i + 1,\dots, k_i\} \subset \mathfrak C\), aber kein Element aus \(\{k_i+1, \dots g_{i+1}\}\) sei in \(\mathfrak C\). Man setze noch \(\varGamma (x) = A(x)+ B (x)\). Für jedes ganze \(n\) mit \(k_i \leqq n \leqq g_{i+1}\) folgt aus \(C (n) < \varGamma (n)\), so beweist Verf., \[ C(n) \geqq \varGamma (l) + \varGamma (n-l-1) - (i-2), \qquad l + 1 \leqq k_i, \] \(l +1\) enthalten im Durchschnitt von \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\). Das zweite Theorem lautet: Es sei \(n +1 \not \in \mathfrak C\), \(C (n) < \varGamma (n)\); dann gibt es ein \(m < n\) mit \(m + 1 \not \in \mathfrak C\), \(n - m \in \mathfrak A\), so daß \[ \begin{multlined} (C(n) -C(n - m)) + (C(n) - C(m +1)) \\ \geqq A(m + 1) + A(n - m - 1) + B(n) - (i - 1), \end{multlined} \] wobei jetzt \(i\) gleich der Anzahl der Zahlen \(r \leqq n\) ist, für die \(r + 1 \not \in \mathfrak B\), aber \(r \in \mathfrak B\) ist. Die Beweise sind elementar.
zbMATH DE Number: 2502374
author: Peter Scherk
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1968916
OpenAlex ID: W2319187540
description: scientific article