Über beliebige Teilsummen absolut konvergenter Reihen.
Gegeben eine absolut konvergente Reihe \(\sum a_i\) reeller Zahlen. Gesucht die Menge \(\mathfrak{N}\) aller Zahlen, die sich als Summe endlich oder unendlich vieler Reihenglieder darstellen lassen. Es genügt, \(a_i > 0\) und \(\sum a_i = 1\) zu betrachten. \(\mathfrak{N}\) ist abgeschlossen und in sich dicht. Dafür, daß sich jedes \(x\) mit \(0\leqq x\leqq 1\) in der angegebenen Weise darstellen läßt, ist notwendig und hinreichend, daß \(a_k\leqq\sigma_k\) für alle \(k\) ist. Dabei ist \(\sigma_k = \sum\limits_{k+1}^\infty a_i\). Für die Eindeutigkeit der Darstellung der Elemente von \(\mathfrak{N}\) ist \(a_k > \sigma_k\) hinreichend (und notwendig; Anm. d. Ref.). Für das lineare Maß von \(\mathfrak{N}\) gilt \[ \varphi(\mathfrak{N})\leqq \inf\, 2^k\sigma_k. \] Beispiel: \(a_i = \dfrac{2}{3^i}\); \(\mathfrak{N}\) ist das Cantorsche Diskontinuum.
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