On expansions in Eigenfunctions. IV.
Die Arbeit setzt die Noten in J. London math. Soc. 14 (1939), 274-278; Quart. J. Math. (Oxford Ser.) 11 (1940), 129-140, 141-145 (F. d. M. 65, 1282 (JFM 65.1282.*); 66, 421) fort. Der Hauptzweck ist ein von der Theorie der Integralgleichungen unabhängiger Beweis der von \textit{H. Weyl} (Math. Ann., Berlin, 68 (1910), 220-269; Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, math.-phys. Kl. 1910, 442-467; F. d. M. 41, 343 (JFM 41.0343.*), 344) angegebenen Sätze über Entwicklungen nach Eigenfunktionen, die aus gewissen Differential\-gleichungen entspringen. Es handelt sich um die Ausdehnung der gewöhnlichen Sturm-Liouvilleschen Entwicklung auf den Fall, daß das Intervall unendlich ist odei bei einer Singularität endet. Das Intervall sei \(0\leqq x<\infty \), und \(L\) bedeute den Operator \(\dfrac {d^2}{dx^2}- q(x)\) mit stetigem \(q\). Um die Entwicklung einer beliebigen Funktion \(\psi (x)\) nach Eigenfunktionen zu erhalten, wird die Lösung \(\psi (x, t)\) der partiellen Differentialgleichung \[ L\psi =i\,\frac {\partial \psi }{\partial t}\tag{3.1} \] betrachtet, die den Randbedingungen \[ \psi (x, 0)= \psi (x)\in L^2 (0,\infty )\;\;\;\text{und}\;\;\;\psi (0,t)\,\cos\,h + \psi _x(0,t)\,\sin\,h =0 \] genügt. Durch die Fourier-Transformation (oder eigentlich, da \(w\) als komplex betrachtet wird, die Laplace-Transformation) \[ \varPsi _+(x,w)= \frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int\limits _0^\infty \psi (x,t)\,e^{iwt}\,dt \] geht dieses Problem über in die Differentialgleichung \[ (L - w) \,\varPsi _+(x,w)= -\frac {i}{\sqrt {2\pi }}\,\psi (x) \] mit der Anfangsbedingung \(\varPsi _+(0,w)\,\cos\,h + \varPsi _{+,x}(0,w)\,\sin\,h =0\). Daneben wird noch die Transformierte \(\varPsi _-(x, w)\) mit dem Integrationsintervall \((- \infty, 0)\) betrachtet. \ \(\varPsi _+\) ist für jedes \(x\) in der oberen, \ \(\varPsi _-\) in der unteren \(w\)-Halbebene analytisch. Es wird nun speziell angenommen, daß diese Funktionen analytische Fortsetzungen voneinander sind, daß ihre einzigen Singularitäten einfache Pole \(w_1,w_2,\ldots \) auf der reellen Achse und diese (nicht ihre Residuen) von \(x\) unabhängig sind. Dann ergibt sich die Entwickelbarkeit von \(\psi (x)\) nach einem Orthogonalsystem von Funktionen \(\psi _n(x)\) die von diesen Residuen abhängen.
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