Probability as measure.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Probability as measure.
zbMATH Open document ID: 67.0453.01
published in: Annals of Mathematical Statistics
publication date: 1941-01-01T00:00:00Z
review text: Gegenstand der Theorie des Verf. sind die Ergebnisse wiederholter Versuche, von denen zunächst der Einfachheit halber angenommen wird, daß sie ganze Zahlen zwischen 1 und \(N\) sind. Einer möglichen unendlich ausgedehnten Folge von Versuchsergebnissen entspricht ein Punkt \(\omega:(x_1, x_2,\dots )\) im Raum unendlich vieler Dimensionen. Sind \(p_1\), \(p_2\),\dots, \(p_N\) nichtnegative Zahlen mit der Summe 1, dann wird als Maß der Menge aller Folgen, die mit \(x_1=\alpha _1\), \(x_2=\alpha _2\),\dots, \(x_n=\alpha _n\) beginnen, die Zahl \(p_{\alpha _1}p_{\alpha _2}\dots p_{\alpha _{ N}}\) festgesetzt. Damit ist eine vollständig additive Mengenfunktion auf einem Wahrscheinlichkeitsfeld gegeben, und die übliche Lebesguesche Maß und Integrationstheorie ist anwendbar. Es werden das starke Gesetz der großen Zahlen und ein Regellosigkeitssatz vom Standpunkt dieser Theorie formuliert. Die Ausdehnung der Theorie auf den Fall, daß die Versuchsergebnisse beliebige reelle Zahlen sind, und auf den Fall, daß statt der Folge \(\{x_n\}\) eine Funktion \(\{x_t\}\) eines stetig veränderlichen Parameters \(t\) auftritt, wird angedeutet. Es folgen einige Hinweise, wie die moderne Theorie der reellen Funktionen auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung anzuwenden ist, sowie die Definition der Zufallsveränderlichen und ihrer Unabhängigkeit. Weitere Ausführungen behandeln das Verhältnis von Theorie und Erfahrungswelt.
zbMATH DE Number: 2503202
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1214/aoms/1177731749
OpenAlex ID: W2086571933
DOI: 10.1214/AOMS/1177731749
author: Joseph Leo Doob
description: scientific article