Darstellung der Eigenwerte von \(\varDelta u + \lambda u = 0\) durch ein Randintegral.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Darstellung der Eigenwerte von \(\varDelta u + \lambda u = 0\) durch ein Randintegral.
zbMATH Open document ID: 66.0460.01
DOI: 10.1007/BF01181459
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1940-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/168921
review text: In einem Gebiet \(G\) mit dem Rand \(\varGamma\) sei \(u=u(x_1, \ldots \!, x_n)\) eine vermöge \(\int \int\limits_{G} \int u^2 \,d\tau=1\) normierte Eigenlösung der Differentialgleichung \(\varDelta u + \lambda u = 0\) bei der Randbedingung \(u=0\) auf \(\varGamma\). Dann läßt sich der zugehörige Eigenwert \(\lambda\) darstellen durch das Randintegral \[ \lambda=\tfrac{1}{4} \int \int\limits_{\varGamma} \left( \frac{\partial u}{\partial \nu} \right)^2 \, \frac{\partial (r^2)}{\partial \nu} \,d \varOmega \] (\(d\tau\) Volumelement in \(G\), \(d \varOmega\) Oberflächenelement auf \(\varGamma\), \(\dfrac{\partial}{\partial \nu}\) Differentiation nach der äußeren Normalen von \(\varGamma\), \(r^2=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\)). Beweis auf Grund des Dirichletschen Prinzips. Die gewonnene Darstellung entspricht ganz jener des Flächeninhalts einer von einer geschlossenen Raumkurve begrenzten Minimalfläche durch ein Randintegral nach H. A. Schwarz.
zbMATH DE Number: 2506629
author: Franz Rellich
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2004993994
description: scientific article