On the theory of stationary random processes.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the theory of stationary random processes.
zbMATH Open document ID: 66.0623.02
DOI: 10.2307/1968827
published in: Annals of Mathematics. Second Series
publication date: 1940-01-01T00:00:00Z
review text: Nach \textit{Khintchine} (Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse, Math. Ann., Berlin, 109 (1934), 604-615; JFM 60.0466.*) ist durch eine stochastische Veränderliche \(X(t)\) ein eindimensionaler stochastischer Prozeß definiert, wenn es eine Verteilung \(F(x_1,\ldots,x_k;t_1,\ldots,t_k)\) für jeden endlichen Wert von \(k\) gibt derart, daß \(F\) die Wahrscheinlichkeit der Ungleichungen \(X(t_\nu)\leqq x_\nu\) (\(\nu=1\), 2, \dots, \(k\)) darstellt. Dabei sei die Bedingung \[ F(x_1,\ldots,x_j,\infty,\ldots,\infty;t_1,\ldots,t_k) =F(x_1,\ldots,x_j;t_1,\ldots,t_j) \] für jedes \(j < k\) erfüllt. Diese Definition wird auf einen \(n\)-dimensionalen stochastischen Prozeß ausgedehnt, dem die \(n\)-dimensionale Veränderliche \(Z(t)=\{X_1(t),\ldots,X_n(t)\}\) als Basis zugrundeliegt. Die Verteilungsfunktion der Veränderlichen \(Z(t_1)\), \dots, \(Z(t_k)\) ist dann im Raum von \(n\cdot k\) Dimensionen zu definieren und gibt die Wahrscheinlichkeit der Ungleichungen \[ X_\mu(t_\nu)\leqq x_{\mu\nu} \quad (\mu=1, \ldots,n; \;\nu = 1, \ldots, k) \] an. Eine weitere Verallgemeinerung ist die Annahme eines komplexen \(Z(t)\), d. h. es ist \[ X_\mu(t)=U_\mu(t)+iV_\mu(t); \] die Verteilung liefert dann also die Wahrscheinlichkeit der Ungleichungen \[ U_\mu(t_\nu)\leqq u_{\mu\nu}, \quad V_\mu(t_\nu)\leqq v_{\mu\nu}. \] In Verallgemeinerung der von Khintchine eingeführten Bezeichnungen heißt ein durch \(Z(t)\) bestimmter stochastischer Prozeß \textit{stationär}, wenn \[ \begin{aligned} &\mathfrak E\{X_\mu(t)\} = m_\mu \quad \text{unabhängig ist von} \;t; \tag{A} \\ &\mathfrak E\{X_\mu(t)\overline{X_\nu(u)}\}=R_{\mu\nu}(t-u) \tag{B} \end{aligned} \] nur von der Differenz \(t-u\) abhängt. -- Verf. setzt weiter noch voraus: \[ \mathfrak E\{X_\mu(t)\} = m_\mu=0 \quad, \mathfrak E\{|X_\mu(t)|^2\}= R_{\mu\mu}(0)=\sigma_\mu^2>0, \tag{C} \] was keine Einschränkung bedeutet, sowie \[ \lim_{t\to 0}R_{\mu\mu}(t)=R_{\mu\mu}(0)=\sigma_\mu^2. \tag{D} \] Nach einigen Hilfsbetrachtu…
zbMATH DE Number: 2507081
Wikidata QID: Q94756485
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1968827
OpenAlex ID: W2330766129
author: Harald Cramér
description: scientific article