The unloading problem for plane curves.
type: Item
instance of: scholarly article
title: The unloading problem for plane curves.
zbMATH Open document ID: 66.0785.03
DOI: 10.2307/2371454
author: Patrick du Val
published in: American Journal of Mathematics
publication date: 1940-01-01T00:00:00Z
review text: \(\mathfrak H=(h_1, h_2,\dots, h_q)\) sei eine Zeilenmatrix aus beliebigen nichtnegativen ganzen Zahlen. Es gibt dann zu vorgegebenen verschiedenen Punkten \(O_1\),\dots, \(O_{q}\) der Ebene stets ein Linearsystem von Kurven mit den genau \(h_\nu \)-fachen Basispunkten \(O_\nu (\nu =1,\dots, q)\) und nur diesen. Dies gilt nicht mehr, wenn die Punkte \(O\) zusammenrücken, vielmehr müssen dann gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sein, die ausdrücken, daß die Vielfachheit einer Kurve in \(O\) gleich der Summe der Vielfachheiten in den benachbarten Punkten sein muß. Definiert man eine Umgebungsmatrix \(\mathfrak M=(m_{\alpha \beta })\) so, daß: \(m_{\alpha \beta }=1\) für \(\alpha =\beta\), \(m_{\alpha \beta }=-1\), wenn \(O_\beta \) zu \(O_{\alpha }\) benachbart ist, \(m_{\alpha \beta }=0\) in den anderen Fällen (\(\alpha\), \(\beta \),\dots, \(q\)), so hat Verf. (Amer. J. Math. 58 (1936), 285-289; JFM 62.0773.*) diese Verträglichkeitsbedingungen auf die Form \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \mathfrak M\mathfrak H'\geqq 0 \hfill} \] gebracht. Die formalen Bedingungen für die Vielfachheiten \(h_\nu \) in \(O_\nu \) können bekanntlich bei zusammenrückenden Basispunkten auch von Kurven erfüllt werden, deren \textit{tatsächliche} Vielfachheiten andere, nämlich die durch (2) \(\mathfrak H+\mathfrak {XM}\), \(\mathfrak X\geqq 0\) gegebenen sind. Es entsteht nun die Frage, welche tatsächlichen Vielfachheiten angenommen werden, wenn die Bedingungen (1) von den \(h_\nu \) \textit{nicht} erfüllt werden; bekanntlich kann im Einzelfall die Frage durch Anwendung des Enriquesschen Entladungs- und Ausgleichsprinzips beantwortet werden. Verf. gibt eine neue Lösungsform, indem er eine Matrix \(\mathfrak K=(k_1, \dots,k_q)\) nichtnegativer ganzer \(k_\nu \) so bestimmt, daß \(\mathfrak {MK}'\geqq 0\), \(\mathfrak K=\mathfrak H+\mathfrak {XM}\) ist und die Kurven mit den tatsächlichen Vielfachheiten \(k_\nu \) in \(O_{\nu }\) sicher dem gesuchten Linearsystem angehören.…
zbMATH DE Number: 2507554
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/2371454
OpenAlex ID: W2316958944
description: scientific article