The unloading problem for plane curves.
\(\mathfrak H=(h_1, h_2,\dots, h_q)\) sei eine Zeilenmatrix aus beliebigen nichtnegativen ganzen Zahlen. Es gibt dann zu vorgegebenen verschiedenen Punkten \(O_1\),\dots, \(O_{q}\) der Ebene stets ein Linearsystem von Kurven mit den genau \(h_\nu \)-fachen Basispunkten \(O_\nu (\nu =1,\dots, q)\) und nur diesen. Dies gilt nicht mehr, wenn die Punkte \(O\) zusammenrücken, vielmehr müssen dann gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sein, die ausdrücken, daß die Vielfachheit einer Kurve in \(O\) gleich der Summe der Vielfachheiten in den benachbarten Punkten sein muß. Definiert man eine Umgebungsmatrix \(\mathfrak M=(m_{\alpha \beta })\) so, daß: \(m_{\alpha \beta }=1\) für \(\alpha =\beta\), \(m_{\alpha \beta }=-1\), wenn \(O_\beta \) zu \(O_{\alpha }\) benachbart ist, \(m_{\alpha \beta }=0\) in den anderen Fällen (\(\alpha\), \(\beta \),\dots, \(q\)), so hat Verf. (Amer. J. Math. 58 (1936), 285-289; JFM 62.0773.*) diese Verträglichkeitsbedingungen auf die Form \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill \mathfrak M\mathfrak H'\geqq 0 \hfill} \] gebracht. Die formalen Bedingungen für die Vielfachheiten \(h_\nu \) in \(O_\nu \) können bekanntlich bei zusammenrückenden Basispunkten auch von Kurven erfüllt werden, deren \textit{tatsächliche} Vielfachheiten andere, nämlich die durch (2) \(\mathfrak H+\mathfrak {XM}\), \(\mathfrak X\geqq 0\) gegebenen sind. Es entsteht nun die Frage, welche tatsächlichen Vielfachheiten angenommen werden, wenn die Bedingungen (1) von den \(h_\nu \) \textit{nicht} erfüllt werden; bekanntlich kann im Einzelfall die Frage durch Anwendung des Enriquesschen Entladungs- und Ausgleichsprinzips beantwortet werden. Verf. gibt eine neue Lösungsform, indem er eine Matrix \(\mathfrak K=(k_1, \dots,k_q)\) nichtnegativer ganzer \(k_\nu \) so bestimmt, daß \(\mathfrak {MK}'\geqq 0\), \(\mathfrak K=\mathfrak H+\mathfrak {XM}\) ist und die Kurven mit den tatsächlichen Vielfachheiten \(k_\nu \) in \(O_{\nu }\) sicher dem gesuchten Linearsystem angehören. Setzt man \[ \mathfrak A=\mathfrak {MM}',\;\;\mathfrak C'=\mathfrak {MH}', \] so ist die Ungleichung (3) \(\mathfrak {AX}'+\mathfrak C'\geqq 0\) mit (4) \(\mathfrak X\geqq 0\) derart zu lösen, daß für jede weitere Lösung \(\mathfrak X_0\) gilt \(\mathfrak X_0\geqq \mathfrak X\). Man kann dazu so vorgehen, daß man ein \(\mathfrak Y\) mit \(\mathfrak Y\geqq 0\), \(\mathfrak Y+\mathfrak C\geqq 0\) wählt; dann ist eine Lösung von (3), (4) durch \(\mathfrak X'=\mathfrak A^{-1}\mathfrak Y'\) gegeben. Ist \(x_\nu ^{\ast}\) der kleinste Wert für \(x_\nu \) in allen Lösungen \(\mathfrak X\) von (3), (4), so ist auch die Zeilenmatrix \(\mathfrak X^{\ast}=(x_1^\ast,\dots,x_q^\ast)\) eine Lössung. Freilich kann Verf. \(\mathfrak X\)* nicht explizit angeben, sondern er gibt nur ein Verfahren an, um durch endlichviele Versuche \(\mathfrak X\)* zu bestimmen. Damit ist dann auch \(\mathfrak K\) gefunden und die gestellte Frage beantwortet.
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