The mathematical way of thinking.
Nach \textit{A. Speiser}s Buch, ``Die mathematische Denkweise'' (Zürich 1932; F. d. M. \(58_{\text I}\), 54), ist es schwer, über diesen Gegenstand in neuen Aspekten zu handeln. Dies gelingt aber Verf. in dem vorliegenden Aufsatz, der in besonders klarer Weise das wesentliche herauszupräparieren weiß. Dabei wird unter der ``mathematischen Denkweise'' -- wie auch bei Speiser -- ein Doppeltes verstanden: einmal diejenige Form des Nachdenkens, durch die Mathematisches in die Naturwissenschaften im weitesten Sinne eingeht; zum anderen die Form des Nachdenkens, die der Mathematiker in seiner eigenen Domäne anwendet. Dabei versuchen wir bei dem geistigen Prozeß des Denkens die Wahrheit zu ergreifen, wobei folgende Position besonders wichtig ist: ``Appealing to the light in our innermost self, it is neither reducible to a set of mechanically applicable rules, nor is it divided into watertight compartments like historic, philosophical, mathematical thinking, etc.'' Verf. kommt dann zuerst auf das \textit{``funktionale Denken''}, wie es insbesondere F. Klein als spezifisch herausgeschält hat, zu sprechen: ``This idea of function or mapping (Abbildung) is certainly one of the most fundamental concepts, which accompanies mathematics at every step in theory and application.'' Dies wird am Beispiel des Galileischen Fallgesetzes \(s =\frac12 gt^2\) klargemacht: ``By this formula Galileo converted a natural law inherent in the actual motion of bodies into an \textit{a priori} constructed mathematical function, and that is what physics endeavours to accomplish for every phenomenon.'' Der mathematische Prozeß trägt dabei drei charakteristische Züge: 1) Feststellung der Variablen; 2) Darstellung derselben durch Symbole; 3) Herstellung des funktionellen Zusammenhangs als \textit{a priori} konstruierte Abbildungen der Variabilitätsbereiche aufeinander. -- Jetzt zu einzelnen Argumenten für die spezifische mathematische Denkweise. ``Mathematics is notorious for the thin air of abstraction in which it moves.'' Man muß imstande sein, den eigentlichen Abstraktionsschritt zu machen, wo intuitive Ideen durch eine bloße symbolische Konstruktion ersetzt werden. ``The scientist must thrust through the fog of abstract words to reach the concrete rock of reality; `Think concretely!'.'' Gemeint ist im wesentlichen die strenge Ergreifung des Kausalnexus. Die Beispiele werden aus der Relativitätstheorie gewählt. Es folgt eine genauere Analyse des Zählprozesses und seiner für das Mathematische allein relevanten Aspekte: Jede ganze Zahl hat eine Nachfolgerin, Prinzip der vollständigen Induktion. -- Danach werden die ähnlichen Aspekte des mathematischen Raumproblems dargelegt: ``Our conception of \textit{space} is, in a fashion similar to that of natural numbers, depending on a constructive grip of all \textit{possible} places\dots\ Each coordinate varies over the \textit{a priori} constructed range of real numbers.'' Für die Darlegung im einzelnen wird eine schöne Einführung in die Gedankenwelt der Topologie geboten, wobei versucht wird, eine Theorie der Kontinuen ganz anschaulich klarzumachen. ``The fundamental concepts of \textit{limit, convergence and continuity} follow in the wake of this construction.'' -- Hierauf kommt Verf. zum entscheidenden Punkt der \textit{``mathematischen Abstraktion''}: ``We forget about what the symbols stand for.'' Dabei legt er sein \textit{Prinzip der Iteration}, wie schon früher in ``Das Kontinuum'', ganz anschaulich klar und schlägt dann die Brücke zur mathematischen Erforschung der Wirklichkeit in den Worten: ``In our analysis of nature we reduce the phenomena to simple elements each of which varies over a certain range of possibilities which we can survey \textit{a priori} because we construct these possibilities \textit{a priori} in a purely combinatorial fashion from some purely symbolic material\dots\ Because of this \textit{a priori} construction we speak of a \textit{quantitative} of nature\dots\ The power of science, as witnessed by the development of modern technology, rests upon the combination of an \textit{a priori} symbolic construction with systematic experience in the form of planned and reproducible reactions and their measurements (Experiment.)'' -Der Zusammenhang zwischen einem gegebenen Kontinuum und seinem symbolischen Schema ist durch die Idee der \textit{Isomorphie} gegeben. ``Isomorphic pictures lead to the same results concerning observable facts.'' Endlich beschreibt Verf. als charakteristischen Zug jeder mathematischen Denkweise die \textit{axiomatische Methode}. Dabei wird zuerst der Standpunkt des Formalismus auseinandergesetzt, aber seine Kritik auch nicht hintangehalten. ``David Hilbert has in our day pursued the axiomatic method to its \textit{bitter end} where all mathematical propositions, including the axioms, are turned into formulas and the game of deduction proceeds from the axioms by rules which take no account of meaning of the formulas.'' Die Schwäche der axiomatischen Methode wird aber gerade durch die Untersuchungen von K. Godei offenbar. Als Schlußsatz lesen wir den folgenden: ``But I should have completely failed if you had not realized at least this much, that mathematics, in spite of its age, is not doomed to progressive sclerosis by its growing complexity, but is still intensely alive, drawing nourishment from its deep roots in mind and nature.''
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