Q2589888
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die isoperimetrische Aufgabe im \(n\)-dimensionalen Raum konstanter negativer Krümmung. I. Die isoperimetrischen Ungleichungen in der hyperbolischen Ebene und für Rotationskörper im \(n\)-dimensionalen hyperbolischen Raum.
zbMATH Open document ID: 66.1341.02
DOI: 10.1007/BF01181439
author: Erhard Schmidt
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1940-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/168901
review text: Vgl. Verf., Math. Z. 44 (1939), 699-788 (F. d. M. 65, 833 (JFM 65.0833.*)). Die Aufgabe, einem Streifen zwischen zwei Abstandskurven einer Geraden im Abstand \[ \pm R = \pm \log \mathop{\text{tg}} \left(\frac\pi4 - \frac\alpha2\right), \quad (\alpha > 0) \] eine einfach geschlossene Kurve vom vorgegebenen Umfang \(L \geqq 4R\) einzubeschreiben, für die die umschlossene Oberfläche \(J\) möglichst groß ausfällt, wird wiederum -unter Beschränkung auf solche Vergleichskurven, die stückweise stetig differenzierbar sind -- gelöst von Extremalen vom Kreisrechteck-, Kreisoder Linsentypus; stellen \(\overline L (\alpha)\) und \(\overline J (\alpha)\) Umfang und Oberfläche des Kreises vom Radius \(R\) dar, so tritt der erste Fall ein für \(L > \overline L(\alpha)\), der zweite für \(L = \overline L(\alpha)\), der dritte für \(L < \overline L(\alpha)\). Im ersten Fall ist das ``Rechteck'' ein senkrechter Ausschnitt des Streifens; diesem sind zwei Halbkreise vom Radius \(R\) aufgesetzt. Im letzten sind die kongruenten ``Kreisbögen'', die \(g\) senkrecht schneiden und sich auf den Streifenrändern treffen, je nach dem Wert von \(L\) Kreise, Orizykeln oder Abstandskurven. Es gilt die Ungleichung \[ J - L \sin \alpha\leqq\overline J(\alpha) - \overline L (\alpha) \sin \alpha, \tag{1} \] in der das Gleichheitszeichen nur für \(L \geqq \overline L(\alpha)\) von der obigen Extremalen erreicht wird. Setzt man \(L = \overline L(\alpha')\), \(J =\overline J (\alpha'')\), wodurch \(\alpha'\) und \(\alpha''\) eindeutig bestimmt sind, so folgt \(\cos\alpha''\geqq\dfrac{\cos\alpha'}{\cos(\alpha-\alpha')}\) und daraus sofort die isoperimetrische Ungleichung \(\alpha''\leqq\alpha'\), wobei das Gleichheitszeichen nur beim Kreis vorkommt. (1) wird in der Poincaré-Ebene mit Linienelement \(dS^2 = \dfrac{dx^2+dy^2}{x^2}\) hergeleitet, für den Streifen kann dann der Winkelraum zwischen den Geraden \(y =\pm x \sin \alpha\) genommen werden. Durch Einführung von Polarkoordinaten wird aus diesem ein Pa…
zbMATH DE Number: 2509276
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1965448172
label: Über die isoperimetrische Aufgabe im \(n\)-dimensionalen Raum konstanter negativer Krümmung. I. Die isoperimetrischen Ungleichungen in der hyperbolischen Ebene und für Rotationskörper im \(n\)-dimensionalen hyperbolischen Raum.
description: scientific article