On the Cesàro and Riesz means of Fourier series.
Wie Verf. zum Teil schon in der vorstehend besprochenen Note ausgeführt hat, besitzen die Rieszschen Mittel Fourierscher Reihen bereits von den \(R_2\)-Mitteln ab gewisse Eigenschaften, die die Cesàroschen Mittel erst von den \(C_3\)-Mitteln ab aufweisen. Neben den im vorstehenden Referat genannten Satz wird in Analogie zu Fejérschen Sätzen über die \(C_3\)-Mittel im wesentlichen gezeigt: (1) Ist \(0 \leqq f(x) \leqq M\) in \(0 < x < \pi\), so gilt für die \(R_2\)-Mittel \(R_n^{(2)}(x)\) der Fourierschen Sinusreihe von \(f(x)\) die Ungleichung \(0 \leqq R_n^{(2)}(x) \leqq M_n(x)\), wo \(M_n(x)\) die \(R_2\)-Mittel der Sinusentwicklung von \(M\) sind. (2) Ist \(f(x)\) in \(0< x<\pi\) monoton, so sind die \(R_2\)-Mittel ihrer Fourierschen Cosinusreihe in demselben Sinne monoton. Anschließend geht Verf. noch näher auf den Zusammenhang zwischen den \(C\)- und \(R\)-Mitteln beliebiger Reihen ein. Er zeigt, daß der \(C_2\)-Kern (im Sinne von \textit{K. Knopp} (Math. Z. 31 (1929), 97-127; F.~d.~M. 55\(_{\text{II}}\), 730-731)) einer Reihe stets den \(R_2\)-Kern, umgekehrt der \(R_2\)-Kern den \(C_3\)-Kern enthält. Dagegen braucht der \(R_2\)-Kern keineswegs den \(C_2\)-Kern zu enthalten, es gilt jedoch der Satz: Ist \(\sum\limits_{\nu} u_{\nu}\) \(R_2\)-summierbar, so ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für ihre \(C_2\)-Summierbarkeit \[ \underset{n \to \infty} {\underline{\lim}} \frac{1}{n^3} \sum_{\nu=0}^{n} (n-\nu+1) \, \nu \,u_{\nu} \geqq 0. \] Insbesondere ist \(u_{\nu} \to 0\) eine hinreichende Bedingung (vgl. das vorhergehende Referat).
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