On the asphericity of regions in a 3-sphere.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the asphericity of regions in a 3-sphere.
zbMATH Open document ID: 65.1442.01
published in: Fundamenta Mathematicae
publication date: 1939-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/213054
review text: Ausgangspunkt der Arbeit ist folgende von \textit{S. Eilenberg} aufgeworfene Frage: Wann ist der Außenraum eines polygonalen Knotens oder einer aus zwei Polygonen gebildeten Verkettung in der dreidimensionalen Sphäre \(S^3\) asphärisch? Für einen Knoten \(k\), dessen Fundamentalgruppe \(G\), in der bekannten Weise aus einer Knotenprojektion abgelesen, durch \(n\) Elemente \(\alpha_1,\,\ldots,\,a_n\) mit den Relationen \(\alpha_{j_i}^{\varepsilon_i}\alpha_i =\alpha_{i-1} \alpha_{j_i}^{\varepsilon_i}\) (\(i=1,\,\ldots,\, n\); \(\alpha_0 =\alpha_n\), \(\varepsilon_i = \pm 1\)) erzeugt wird, gelangt Verf. unter Benutzung von Reidemeister Homotopiekettenringen zu folgendem Ergebnis: Dann und nur dann ist \(S^3 - k\) asphärisch, wenn für Elemente \(\xi_1,\,\ldots,\,\xi_n\) des Gruppenringes \(\mathfrak R(G)\) aus den Gleichungen \(\xi_i- \xi_{j_i} = \alpha_{j_i}^{\varepsilon_i} (\xi_{i-1} - \xi_{j_i})\) (wobei \(\xi_0 = \xi_n\)) folgt: \(\xi_1 = \cdots = \xi_n = 0\). Allgemeiner gilt: Die der Nebenbedingung \(\xi_m = 0\), \(m\) fest, \(1 \leqq m \leqq n\), genügenden Lösungen \((\xi_1,\,\ldots,\, \xi_n)\) dieses Gleichungssystems, aus dem eine Gleichung als von den übrigen abhängig weggelassen werden kann, lassen sich umkehrbar eindeutig den zweidimensionalen Homologieklassen von \(S^3 - k\) zuordnen. -- Entsprechende Überlegungen gelten für Verkettungen. Ersetzt man \(k\) durch einen beliebigen Streckenkomplex, so treten in dem Gleichungssystem neben den Gleichungen der angegebenen Form, die den Überkreuzungen der Projektion entsprechen, noch andere auf, die von den zu mehr als zwei Kanten gehörenden Ecken des Komplexes herrühren. Verf. weist für einige einfache Beispiele, darunter den Viererknoten, nach, daß der Außenraum asphärisch ist. Überdies bemerkt er, daß viele von ihm an anderer Stelle (J. London math. Soc. 12 (1937), 63-71; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 552) behandelte Knoten und Verkettungen, die durch ``Verdopplung'' aus einfacheren Knoten hervorgehen, asphäris…
reviewed by: Erika Dr. Pannwitz
zbMATH DE Number: 2514179
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1167730531
DOI: 10.4064/FM-32-1-149-166
author: J. H. C. Whitehead
description: scientific article