Über die Approximation von zwei komplexen inhomogenen Linearformen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die Approximation von zwei komplexen inhomogenen Linearformen.
zbMATH Open document ID: 64.0146.02
DOI: 10.1007/BF01792688
published in: Monatshefte für Mathematik und Physik
publication date: 1938-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. überträgt einen Satz aus \textit{Minkowski}s ``Diophantischen Approximationen'' (1907; F. d. M. 38, 220 (JFM 38.0220.*)) auf den Gaußschen Zahlkörper \(k(i)\). Er beweist: Ist \(f(x,y)=(\alpha x + \beta y -\xi_0) (\gamma x + \delta y - \eta_0)\) eine nicht homogene zerlegbare Form mit \(\alpha\delta -\beta\gamma=1\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\), \(\xi_0\), \(\eta_0\) beliebig komplex, so existieren ganze Zahlen \(x\), \(y\) aus \(k(i)\) mit \[ |f(x,y) | \leqq \tfrac 12. \] Das Gleichheitszeichen ist dann und nur dann nötig, wenn die Form arithmetisch äquivalent ist zur Form \[ (x - \tfrac 12(1 + i)((y-\tfrac 12(1 + i)). \] Liegt \(\dfrac \alpha\beta\) nicht in \(k(i)\), so befriedigen unendlichviele Paare \(x\), \(y\) die Ungleichung, und es läßt sich gleichzeitig noch \(\alpha x + \beta y -\xi_0\) beliebig klein machen. Verf. zeigt zunächst, daß zu beliebigen komplexen \(p\), \(q\) stets eine ganze Zahl \(z\) aus \(k(i)\) existiert, so daß \(|z-p|\cdot |z-q|\leqq \max \left(\dfrac{\sqrt 5}4, \dfrac{|p-q|}{\sqrt 2}\right)\) gilt. Zusammen mit einem zweiten Hilfssatz, dessen Beweis auf einer \textit{Perron-Ford}schen Abschätzung beruht, liefert das den Satz. Es wird gezeigt, daß \(\frac 12\) die bestmögliche Schranke ist.
zbMATH DE Number: 2515062
Wikidata QID: Q114170530
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01792688
OpenAlex ID: W2030094991
author: Edmund Hlawka
description: scientific article