Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernstein.
\(F (t)\) sei für \(0 \leqq t \leqq 1\) stetig. Bekanntlich gilt für die Bernsteinschen Polynome \[ B_n (t) = \sum_{\varkappa = 0}^n F \left( \frac \varkappa n \right) \left( \varkappa \atop n \right) t^\varkappa (1-t)^{n - \varkappa} \boldsymbol\to F(t) \qquad \text{ für } \quad n \to \infty. \] Verf. zeigt nun, daß, wenn \(F (t)\) überdies einer Hölderbedingung \[ | F(t^{\prime\prime})-F(t^\prime) | \leqq M |t^{\prime\prime} t^\prime|^\alpha \qquad (0 \leqq \alpha \leqq 1) \] genügt, \[ \max_{0 \leqq t \leqq 1} \;| F (t) - B_n(t)| = O\left( n^{- \tfrac{\alpha}{2}}\right) \] ist. Es gibt Funktionen (z. B. \(F (t) = | t - \frac 12|^\alpha\)), für welche \[ \max_{0 \leqq t \leqq 1} \;| F (t) - B_n(t)| \not = o\left( n^{- \tfrac{\alpha}{2}}\right) \] ist.
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