Analytic continuation of diagonals and Hadamard compositions of multiple power series.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Analytic continuation of diagonals and Hadamard compositions of multiple power series.
zbMATH Open document ID: 64.1080.02
DOI: 10.1090/S0002-9947-1938-1501956-3
author: R. H. Cameron
author: W. T. Martin
published in: Transactions of the American Mathematical Society
publication date: 1938-01-01T00:00:00Z
review text: Nach dem Hadamardschen Multiplikationssatz läßt sich eine Aussage über die analytische Fortsetzung eines Funktionselements \[ A(z)= \sum _{n=0}^\infty a_n z^n \] machen, falls die Koeffizienten \(a_n\) eine Faktorenzerlegung \(a_n = b_n\,c_n\) zulassen, die so beschaffen ist, daß die Regularitätssterne der beiden Elemente \[ B(z)= \sum _{n=0}^\infty b_n z^n,\;\;\;C(z)= \sum _{n=0}^\infty c_n z^n \] bekannt sind. In der vorliegenden Note wird nun gezeigt, daß man allgemeiner eine Aussage über das Regularitätsgebiet von \(A(z)\) schon dann machen kann, wenn man eine Funktion von zwei Veränderlichen \[ F(x,y)= \sum _{m,\,n=0}^\infty f_{mn}\, x^m\,y^n \] finden kann, deren Diagonalkoeffizienten \(f_{nn}\) mit den Koeffizienten \(a_n\) übereinstimmen; und über deren Regularitätsgebiet man geeignete Kenntnisse besitzt. Die Verf. sprechen ihr Ergebnis sogleich in einer allgemeineren Form für Funktionen von mehreren Veränderlichen aus: Ein Gebiet \(S\) des Raumes \(R_n\) von \(n\) komplexen Veränderlichen \(z_1,z_2,\ldots,z_n\) heiße für positive ganze \(p_1,p_2,\ldots,p_n\) ein ``\((p_1,p_2,\ldots,p_n)\)-Stern'', wenn mit \((z_1,z_2,\ldots,z_n)\) stets auch die sämtlichen Punkte \((\varrho ^{p_1}z_1,\varrho ^{p_2}z_2,\ldots, \varrho ^{p_n}z_n)\) mit \(0\leqq \varrho <1\) zu \(S\) gehören. Ist \(f(z_1,z_2,\ldots,z_n)\) eine in der Umgebung des Nullpunkts analytische Funktion, so werde insbesondere als ``\((p_1,p_2,\ldots,p_n)\)-Stern von \(f\)'' derjenige \((p_1,p_2,\ldots,p_n)\)-Stern verstanden, der genau die Punkte \((z_1,z_2,\ldots,z_n)\) enthält, für die \(f\) in sämtlichen Punkten \((\varrho ^{p_1}z_1\), \(\varrho ^{p_2}z_2,\ldots, \varrho ^{p_n}z_n)\) mit \((0\leqq \varrho \leqq 1)\) regulär ist. Dann gilt: \ Es sei \[ A(z_1,z_2,\ldots,z_n) =\sum a_{\mu_1\,\mu_2\ldots \mu_n}\,z_1^{\mu _1} \,z_2^{\mu _2}\cdots \,z_n^{\mu _n} \] in einer Umgebung des Nullpunkts analytisch und \(S\) ihr \((p_1,p_2,\ldots,p_n)\)-Stern. Dann ist die ``Diagonalfunktion'' \[ A_{(z_1,z_2)}\,…
zbMATH DE Number: 2518253
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s0002-9947-1938-1501956-3
OpenAlex ID: W1978363815
description: scientific article