The groups of order \(p^m\) which have \(m - 1\) independent generators.
type: Item
instance of: scholarly article
title: The groups of order \(p^m\) which have \(m - 1\) independent generators.
zbMATH Open document ID: 63.0070.05
author: G. A. Miller
published in: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
publication date: 1937-01-01T00:00:00Z
review text: \(p > 2\) sei eine Primzahl. Verf. unternimmt die Bestimmung aller Gruppen \(\mathfrak G\) der Ordnung \(p^m\) mit \(m - 1\) unabhängigen Erzeugenden, also der Gruppen, bei denen die \(p\)-ten Potenzen der Elemente zusammen mit der Kommutatorgruppe eine Gruppe der Ordnung \(p\) erzeugen. Es gibt drei Arten: (1) \(\mathfrak G\) enthält kein Element der Ordnung \(p^2\); (2) \(\mathfrak G\) enthält Elemente der Ordnung \(p^2\), aber keins von diesen ist invariant; (3) \(\mathfrak G\) enthält invariante Elemente der Ordnung \(p^2\). Im Fall (1) ist die Anzahl der nicht isomorphen Gruppen \(\tfrac12(m - 2)\) bzw. \(\tfrac12(m - 1)\) für gerades bzw. ungerades \(m\). In den anderen Fällen sind die vom Verf. angegebenen Anzahlen, wie sich schon bei kleinen Werten von \(m\) zeigt, zu hoch. Richtig sind, wie Verf. in der nachstehend besprochenen Arbeit beweist, folgende Anzahlen: \[ \begin{aligned} &\tfrac12(m - 2) \;\;\text{für}\;\;\;2 \,|\, m, \;\;\;\tfrac12(m - 1)\;\;\;\text{für} \;\;\;2\nmid m;\tag{2}\\ &\tfrac12m \qquad \quad \;\text{für} \;\;\;2\, | \,m, \;\;\;\tfrac12(m - 1) \;\;\;\text{für} \;\;\;2\nmid m.\tag{3} \end{aligned} \]
zbMATH DE Number: 2519962
Wikidata QID: Q33742532
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: pnas.23.4.234
OpenAlex ID: W2040816412
DOI: 10.1073/PNAS.23.4.234
description: scientific article