Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range.
Eine abelsche Gruppe \(G\) heißt torsionsfrei, wenn jedes Element außer Null unendliche Ordnung hat. Unter dem Rang \(n\) von \(G\) versteht man die größte Anzahl (in bezug auf die ganzen rationalen Zahlen) linear unabhängiger Elemente. \(G\) heißt \(p\)-primitiv, wenn man eine Primzahl \(p\) und in \(G\) einen \(n\)-gliedrigen Linearformenmodul \(H\) derart finden kann, daß es zu jedem \(g\subset G\) ein \(m_g\) gibt, so daß \(p^{m_g}\cdot g\) in \(H\) liegt. Ist \(H\) ein derartiger Untermodul, so bezeichne \(H^*\) die Untergruppe aller derjenigen Elemente \(h^*\) von \(G\), für die \(p\cdot h^*\) in \(H\) liegt. Die Faktorgruppe \(H^*/H\) ist direkte Summe von \(r(H^*/H) \leqq n\) Gruppen der Ordnung \(p\). Die kleinste aller Zahlen \(r(H^*/H)\), wo \(H\) alle Linearformenmoduln der eben betrachteten Art durchläuft, heißt der reduzierte Rang \(r\) von \(G\). Ein Linearformenmodul \(H\), für den \(r(H^*/H) = r\) gilt, heißt Hauptuntergruppe. Im Falle \(r = 0\) ist \(G\) selbst ein \(n\)-gliedriger Linearformenmodul. Für \(r=n\) wird \(G\) eine direkte Summe von \(n\) Summanden, von denen jeder isomorph ist zu der additiven Gruppe aller rationalen Zahlen, deren Nenner Potenzen von \(p\) sind. Ist \(0 < r < n\), so läßt sich der Gruppe \(G\) in folgender Weise eine Matrix zuordnen, deren Koeffizienten ganze \(p\)-adische Zahlen sind: \(H_0\) sei eine Hauptuntergruppe. Man setze \[ H_{k+1} = H^*_k\qquad (k= 0,1,\ldots). \] \(H_{k+1}\) läßt sich aus \(H_k\) mit Hilfe von \(r\) Elementen \(a^{k+1}_1,\ldots, a^{k+1}_r\) erzeugen. Man kann nun eine Basis \[ a_1^0,\ldots, a_r^0,\quad b_1,\ldots, b_s\qquad (r + s = n) \] von \(H_0\) und die \(a_\varrho^{k+1}\) \((\varrho = 1,\ldots, r; k = 0, 1,\ldots)\) derart wählen, daß für \(k = 0,1,\ldots\) gilt \[ pa^{k+1}_\varrho = a^k_\varrho + \sum\limits_{j=1}^s \alpha_{\varrho j}^k b_j \qquad (\varrho=1,\ldots,r) \] mit \(0 \leqq \alpha^k_{\varrho j} < p\). Bildet man die ganzen \(p\)-adischen Zahlen \(\varphi_{\varrho j} = \sum\limits_{k=0}^\infty a_{\varrho j}^kp^k\), so ist damit der Gruppe \(G\) folgende Matrix zugeordnet \[ M=\begin{pmatrix} \varphi_{11}&\cdots&\varphi_{1s}\\ \spacehdots4\for3\\ \varphi_{r1}&\cdots&\varphi_{rs} \end{pmatrix} . \] Einer gegebenen Matrix \(M\) mit ganzen \(p\)-adischen Koeffizienten entspricht umgekehrt stets eine Gruppe \(G\). Verf. führt für diese Matrizen einen Äquivalenzbegriff derart ein, daß isomorphe Gruppen auf äquivalente Matrizen führen und umgekehrt. Insbesondere ergibt sich, daß \(G\) dann und nur dann eine direkte Summe von Gruppen des Ranges 1 ist, wenn die Elemente der zugehörigen Matrix periodische, d. h. rationale \(p\)-adische Zahlen sind.
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