Über eine Klassen-Einteilung der \(p\)-adischen Zahlen.
In einer früheren Arbeit [J. Reine Angew. Math. 166, 118--136 (1931; JFM 57.0242.03)] hat Verf. eine Klasseneinteilung der komplexen Zahlen nach ihrer Fähigkeit gegeben, sich durch algebraische Zahlen annähern zu lassen und (ohne Beweis) einige Sätze mitgeteilt, die die Invarianz dieser Einteilung gegen algebraische Funktionsbildung zeigen. Verf. gibt hier das Analogon dieser Einteilung für den Körper der \(p\)-adischen Zahlen, der -als perfekte Hülle des rationalen Zahlkörpers in bezug auf eine Bewertung -- dem Körper der komplexen Zahlen gleichberechtigt zur Seite steht. Er führt bei dieser Gelegenheit die Beweise für die Invarianzsätze im einzelnen aus; danach kann man ohne weiteres auch die Beweise für den Fall des komplexen Zahlkörpers ablesen. Im Körper der \(p\)-adischen Zahlen stellt sich die Klasseneinteilung folgendermaßen dar: Sei \(\alpha\) eine \(p\)-adische Zahl. Für jedes Paar \(a\), \(m\) natürlicher Zahlen wird die Funktion \[ \omega_m(a|\alpha) = \underset{_{\substack{ \overline{|P|}\le a, \text{Gr }P\le m \\ P(\alpha )\ne 0}}}{\text{Min}}(|P(\alpha )|_p) \] gebildet, wo \(P\) alle ganzrationalzahligen Polynome mit \(P(\alpha)\neq 0\) durchläuft, deren Grad höchstens \(m\) ist, und für die die (gewöhnlichen) Beträge der Koeffizienten als Maximum \(\overline{|P|}\) höchstens \(a\) haben; \(|\phantom{m}|_p\) bezeichnet den \(p\)-adischen Betrag. Diese Funktion \(\omega_m(a|\alpha)\) ist bei festem \(m\) monoton abnehmend in \(a\) und bei festem \(a\) monoton abnehmend in \(m\). Dieses Abnehmen wird beschrieben durch \[ \begin{alignedat}{2}{2} &\omega_m(a|\alpha)\ge a^{-\omega_m(\alpha)-\varepsilon} & \;& \text{ für alle } a>a_0(\varepsilon), \\ &\omega_m(a|\alpha)\le a^{\omega_m(\alpha)+\varepsilon} & \;& \text{ für geeignete } a>a_0, \end{alignedat} \] wo \(\omega_m(\alpha)\) (Wachstumsordnung von \(\dfrac{1}{\omega_m(a|\alpha)}\)) eine nicht-negative in \(m\) monoton zunehmende Funktion ist, und weiter durch \[ \begin{alignedat}{2}{2} &\omega_m(\alpha)\leqq m(\omega (\alpha)+\varepsilon) & \;& \text{ für alle } m>m_0(\varepsilon), \\ &\omega_m(\alpha)\geqq m(\omega (\alpha)-\varepsilon) & \;& \text{ für geeignete } m>m_0, \end{alignedat} \] wo \(\omega(\alpha)\) (Wachstumstypus von \(\omega_m(\alpha)\) zur Wachstumsordnung 1) nicht negativ ist. Falls dabei \(\omega(\alpha)=\infty\) ist, sei \(\mu(\alpha)\) das kleinste \(m\) mit \(\omega_m(\alpha)=\infty\), bzw. \(\mu (\alpha) = \infty\), falls kein solches \(m\) existiert. Die \(p\)-adische Zahl \(\alpha\) heißt dann eine \(A\)-Zahl, wenn \(\omega(\alpha)=0\); \(S\)-Zahl, wenn \(0<\omega(\alpha)<\infty\); \(T\)-Zahl, \(\omega(\alpha)=\infty\), \(\mu (\alpha)<\infty\); \(U\)-Zahl, wenn \(\omega(\alpha)=\infty\), \(\mu (\alpha)=\infty\). \noindent Es wird bewiesen: 1. Ist \(\alpha\) (in bezug auf den rationalen Zahlkörper) algebraisch, so ist \(\alpha\) eine \(A\)-Zahl. Genauer werden notwendige und hinreichende Approximationskriterien dafür angegeben, daß '' algebraisch von höchstens \(m\)-tem Grade, oder daß \(\alpha\) transzendent ist. 2. Ist \(\beta\) von \(\alpha\) algebraisch unabhängig (in bezug auf den rationalen Zahlkörper), so gehört \(\beta\) zur gleichen Klasse wie \(\alpha\).
Mahler's classification of p-adic numbers
scientific article