Connections between differential geometry and topology. I: Simply connected surfaces.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Connections between differential geometry and topology. I: Simply connected surfaces.
zbMATH Open document ID: 61.0787.02
DOI: 10.1215/S0012-7094-35-00126-0
published in: Duke Mathematical Journal
publication date: 1935-01-01T00:00:00Z
review text: Die vorliegende Arbeit schließt sich an eine Arbeit des Ref. an (\textit{W. Rinow}, Über Zusammenhänge zwischen der Differentialgeometrie im Großen und im Kleinen, Math. Z. 35 (1932), 512-528; F. d. M. 58). Dort ist die Frage aufgeworfen worden, wann ein differentialgeometrisches Element, d. h. ein beliebig kleines analytisches Flächenstück, zu einer vollständigen Fläche fortsetzbar ist. Entscheidend dafür ist das Verhalten der Funktion \(f (r,\vartheta)\), die durch das Linienelement \(ds^2 = dr^2 + f^2(r,\vartheta)\,d\vartheta\) in geodätischen Polarkoordinaten \(r\), \(\vartheta\) gegeben ist. Verf. verschärft zunächst ein Ergebnis des Ref. dahin, daß \(f (r, \vartheta)\) ebenso wie \(K (r, \vartheta)\) (\textit{Gauß}sche Krümmung), wenn das Element zu einer vollständigen Fläche fortsetzbar ist, eine reelle analytische Funktion der \textit{beiden} Veränderlichen \(r\), \(\vartheta\) für alle reellen Werte von \(\vartheta\) und \(r > 0\) ist. Verf. geht nun dazu über, den Ort der zu einem gegebenen Punkte \(P\) konjugierten Punkte näher zu untersuchen. Zu diesem Zweck betrachtet er die Nullstellen von \(f (r,\vartheta)\) in der \((r, \vartheta)\)-Ebene, die man sich etwa darstellen kann als die Tangentialebene der Fläche im Punkte \(P\). Die durch die Polarkoordinaten \(r\), \(\vartheta\) vermittelte Abbildung der \((r,\vartheta)\)-Ebene auf die Fläche erweist sich dann als analytisch, und nur in den Nullstellen von \(f(r,\vartheta)\) hört die Eineindeutigkeit im Kleinen auf, da dort die Funktionaldeterminante der Abbildung verschwindet; das sind aber gerade die zu \(P\) konjugierten Punkte. Das Verhalten der Abbildung an diesen Stellen läßt sich leicht übersehen. Verf. gelangt so zu dem folgenden Ergebnis: Auf einer vollständigen Fläche \(F\) ist der Ort der ersten zu dem Punkte \(P\) bezüglich der von \(P\) ausgehenden geodätischen Strahlen konjugierten Punkte entweder überhaupt nicht vorhanden oder ein einziger Punkt oder eine geschlossene analytische Kurve mit…
zbMATH DE Number: 2533555
Wikidata QID: Q115240299
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s0012-7094-35-00126-0
OpenAlex ID: W1525133530
author: Sumner Byron Myers
description: scientific article