Über monotone Matrixfunktionen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über monotone Matrixfunktionen.
zbMATH Open document ID: 60.0055.01
DOI: 10.1007/BF01170633
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1934-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/168495
review text: Ist \(\chi (\omega )\) eine reelle Funktion der reellen Veränderlichen \(\omega \), so kann in der bekannten Weise zu einer reellen symmetrischen Matrix \(C_n=(c_{\varkappa \lambda })\) \((\varkappa,\lambda =1,2,\dots,n)\) des Grades \(n\) die Matrix \(\chi (C_n)\) gebildet werden, falls die Eigenwerte von \(C_n\) dem Definitionsbereich der Funktion \(\chi (\omega )\) angehören. Auf diese Weise entsteht, falls man \(X_n\) alle in diesem Sinne zulässigen reellsymmetrischen Matrizen durchlaufen läßt, eine Matrixfunktion \(\chi (X_n)\) \(n\)-ter Stufe. Eine Matrixfunktion \(n\)-ter Stufe \(\chi (X_n)\) heißt monoton, wenn für irgend zwei (reellsymmetrische) Matrizen \(A_n\) und \(B_n\) aus \(A_n\leq B_n\) stets \(\chi (A_n)\leq \chi (B_n)\) oder stets \(\chi (A_n)\geq \chi (B_n)\) folgt; dabei bedeute \(A_n=\leq B_n\), daß die symmetrische Form \(B_n-A_n\) nichtnegativ definit ist. Im ersten Falle ist die Matrixfunktion monoton wachsend, im zweiten monoton abnehmend; Monotonie erster Stufe ist offensichtlich Monotonie im gebräuchlichen Sinne. Die Untersuchung kann natürlich auf monoton wachsende Funktionen beschränkt werden. Die Funktion \(\chi (\omega )\) selbst heißt unter diesen Voraussetzungen von \(n\)-ter Stufe monoton. Die monotonen Funktionen können durch gewisse Ungleichungen charakterisiert werden: Für die Monotonie \(n\)-ter Stufe von \(\chi (\omega )\) ist notwendig und hinreichend, daß für jedes \(m\) (\(m=1,2,\dots,n)\) die Determinante \(|\varkappa (\eta _\alpha,\xi _\beta )|\) nichtnegativ ist, für Werte \(\xi _\alpha \), \(\eta _\alpha \) (\(\alpha =1,2,\dots,n)\) aus dem Definitionsbereich von \(\chi (\omega )\), die die Ungleichungen \[ \xi _1<\eta _1<\xi _2<\eta _2<\cdots <\xi _m<\eta _m \] erfüllen; dabei ist \[ \varkappa (\eta,\xi )=\frac {\chi (\eta ) - \chi (\xi )}{\eta -\xi }\quad (\eta \neq \xi ). \] Für \(n\geq 3\) muß hierbei noch die Annahme gemacht werden, daß der Definitionsbereich von \(\chi (\omega )\) ein Intervall ist. Der zweite Teil…
zbMATH DE Number: 2537170
author: Charles Loewner
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q55982441
description: scientific article