On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. I.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. I.
zbMATH Open document ID: 60.0599.01
DOI: 10.1017/S030500410001269X
author: Patrick du Val
published in: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
publication date: 1934-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. betrachtet solche isolierten singulären Punkte auf einer algebraischen Fläche \(F\) im \(R_r\), die die Eigenschaft haben, bei Projektion von \(F\) in einen \(R_3\) von einem allgemeinen \(R_{r-4}\) aus als isolierte Singularitäten erhalten zu bleiben. - Dabei ergibt sich als eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ eine isolierte singuläre Stelle einer \(F\) den adjungierten Flächen keine Bedingungen auferlegt, daß\ die Vielfachheit des Punktes Zwei ist und seine sämtliche Umgebungen (\(1.,2.,\dots \) Ordnung) rational sind. Durch (birationale) Transformation werden solche Umgebungen in rationale Kurven übergeführt, die einen Kurven-``Baum'' (tree) bilden; jede Kurve des Baumes hat den (virtuellen) Grad \(-2\). Es gibt nur eine kleine Zahl von Bäumen, die geeignet sind, die ganze Nachbarschaft eines mehrfachen Punktes auf einer \(F\) darzustellen. Zur Auffindung dieser wenigen Arten solcher Bäume geht Verf. von der Unterscheidung von drei Fällen aus, die sich auf die beiden folgenden - als Lösungen in Frage kommenden - reduzieren lassen: (1) Eine einzige \textit{Kette} von \(s\) Kurven \(R_1,R_2,\dots,R_s\), wobei \(R_i\) seine beiden Nachbarn \(R_{i-1}\) und \(R_{i+1}\) trifft und die Kettenendkurven \(R_1\) und \(R_s\) nur je \textit{eine} Nachbarkurve besitzen, d. h. die Umgebung erster Ordnung der Singularität (Doppelpunkt) bilden. - (2) Ein \textit{Baum}, in dem es eine Kurve gibt, die drei andere trifft, von denen jede bezüglich eine Endkurve je einer Kette von \(n(N_1,\dots,N_n),p(P_1,\dots,P_p),q(Q_1,\dots,Qq)\) Kurven ist. Ist dann \(O\) diese Kurve, die \(N_1,P_1,Q_1\) trifft, so gibt es für den in Frage stehenden Zusammenhang nur die folgenden Fälle: Es ist entweder a) \(n=p=q=1\), oder b) \(p=q=1,n\) beliebig, oder c) das Tripel \((n,p,q)\) ist nur noch der folgenden Wertekombinationen fähig: \((2,2,1),(3,2,1),(4,2,1)\). - In jedem der angegebenen möglichen Fälle werden die zugehörigen Singularitäten noch durch ihre geometrischen Eig…
zbMATH DE Number: 2538746
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q29999800
full work available at URL: s030500410001269x
OpenAlex ID: W4238415114
description: scientific article