On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. II.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On isolated singularities of surfaces which do not affect the conditions of adjunction. II.
zbMATH Open document ID: 60.0599.02
DOI: 10.1017/S0305004100012706
author: Patrick du Val
published in: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
publication date: 1934-01-01T00:00:00Z
review text: In dieser Arbeit setzt Verf. die im Teil I gewonnenen Ergebnisse über die isolierten Singularitäten einer algebraischen Fläche (siehe vorstehendes Referat) in Beziehung zu den Gruppen und Untergruppen von \textit{Coxeter} (Finite groups generated by reflections, and their subgroups generated by reflections, Proceedings Cambridge 30 (1934), 466-482; F. d. M. 60\(_{\text{II}}\)), die durch Spiegelungen erzeugt werden. - Ist \(\varSigma \) eine rationale Fläche, so kann sie in einer Ebene \(\omega \) durch ein System von Kurven mit einer gewissen Zahl \(\varepsilon \) von Basispunkten \(A_1,\dots,A_\varepsilon \) dargestellt werden. Dieses System sei stets durch eine Charakteristik der Form \(m(i)\) angezeigt, worin \(m\) die Ordnung der Kurven des Systems und \(i(i_1,\dots,i_\varepsilon ),i_\alpha \) die Vielfachheit der allgemeinen Systemkurve in \(A_\alpha \) bedeuten. Mit Hilfe des in einer früheren Arbeit des Verf. (1933; F. d. M. 59\(_{\text I}\), 624) herausgestellten Polytops im \(R_\varepsilon \) - der für \(\varepsilon <9\) euklidisch, für \(\varepsilon >9\) ein \textit{Minkowski}scher Raum ist - wird eine Zuordnung zu gewissen besonderen Kurven des Systems (``Ausnahmekurven'') gestiftet von der Art, daß\ jede Symmetrie, die das Polytop in sich überführt, einer (virtuellen) \textit{Cremona}-Transformation der Ebene mit den \(\varepsilon \) Punkten als Fundamentalpunkten entspricht. Verf. zeigt dann, daß\ jedem der möglichen (in Teil I aufgewiesenen) isolierten singulären Punkte von \(\varSigma \) - die den adjungierten Flächen keine Bedingungen auferlegen - eine durch Spiegelungen erzeugte Untergruppe der Gruppe der Symmetrien des Polytops entspricht. - Zum Schluß\ gibt Verf. noch eine in diesem Zusammenhang auftretende Formel an, ohne sie explicite zu beweisen.
zbMATH DE Number: 2538747
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q29029275
full work available at URL: s0305004100012706
OpenAlex ID: W4229939271
description: scientific article