Systems of algebraic difference equations.
Sei \(\mathfrak A\) eine offene Menge in der komplexen Zahlenebene, die mit jedem Punkt \(x\) auch den Punkt \(x+1\) enthält. Ferner sei \(\mathfrak F\) eine Menge von in \(\mathfrak A\) meromorphen Funktionen, die so beschaffen ist, daß\ mit \(f(x)\) stets auch \(f(x+1)\) und mit \(f, g\) stets auch \(f \pm g, fg, \frac {f}{g}\) für \(g \not = 0\) zu \(\mathfrak F\) gehören. Dann werden algebraische Differenzengleichungssysteme behandelt mit Koeffizienten aus \(\mathfrak F\) und mit beliebig vielen unbekannten Funktionen \(y_1(x),\dots, y_n(x)\). Wenn alle (eventuell vorhandenen) Lösungeneines Systems \(\sum _1\) zugleich Lösungen eines Systems \(\sum _2\) sind, so sagt man, \(\sum _2\) hält \(\sum _1\). Ein System \(\sum \) heißt reduzibel, wenn es zwei Differenzengleichungen \(G=0\) und \(H=0\) gibt, von denen keine das System \(\sum \) hält, während die Gleichung \(GH=0\) das tut. Andernfalls heißt \(\sum \) irreduzibel. Hiernach ist z. B. die Gleichung \[ [y(x+1) - y(x)]^2 - [y(x+1) + y(x)] = 0\tag{1} \] reduzibel; denn ersetzt man \(x\) durch \(x+1\) und subtrahiert die entstehende Gleichung von (1), so erhält man \[ [y(x+2) - y(x)][y(x+2) -2y(x+1) + y(x) - 1] = 0,\tag{2} \] und die Lösungen von (1) zerfallen in solche, die den ersten, und solche, die den zweiten Faktor von (2) zum Verschwinden bringen. Es wird bewiesen, daß\ jedes System \(\sum \) einer endlichen Menge von irreduziblen ystemen \(\sum _i\) äquivalent ist; d. h. jede Lösung von \(\sum \) ist auch Lösung von einem \(\sum _i\), und jede Lösung eines \(\sum _i\) ist auch Lösung von \(\sum \). Dabei ist die Zerlegung in irreduzible Systeme, von Äquivalenz abgesehen, eindeutig.
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