Systems of algebraic difference equations.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Systems of algebraic difference equations.
zbMATH Open document ID: 59.0456.01
DOI: 10.2307/2371147
author: Joseph Fels Ritt
author: Joseph Leo Doob
published in: American Journal of Mathematics
publication date: 1933-01-01T00:00:00Z
review text: Sei \(\mathfrak A\) eine offene Menge in der komplexen Zahlenebene, die mit jedem Punkt \(x\) auch den Punkt \(x+1\) enthält. Ferner sei \(\mathfrak F\) eine Menge von in \(\mathfrak A\) meromorphen Funktionen, die so beschaffen ist, daß\ mit \(f(x)\) stets auch \(f(x+1)\) und mit \(f, g\) stets auch \(f \pm g, fg, \frac {f}{g}\) für \(g \not = 0\) zu \(\mathfrak F\) gehören. Dann werden algebraische Differenzengleichungssysteme behandelt mit Koeffizienten aus \(\mathfrak F\) und mit beliebig vielen unbekannten Funktionen \(y_1(x),\dots, y_n(x)\). Wenn alle (eventuell vorhandenen) Lösungeneines Systems \(\sum _1\) zugleich Lösungen eines Systems \(\sum _2\) sind, so sagt man, \(\sum _2\) hält \(\sum _1\). Ein System \(\sum \) heißt reduzibel, wenn es zwei Differenzengleichungen \(G=0\) und \(H=0\) gibt, von denen keine das System \(\sum \) hält, während die Gleichung \(GH=0\) das tut. Andernfalls heißt \(\sum \) irreduzibel. Hiernach ist z. B. die Gleichung \[ [y(x+1) - y(x)]^2 - [y(x+1) + y(x)] = 0\tag{1} \] reduzibel; denn ersetzt man \(x\) durch \(x+1\) und subtrahiert die entstehende Gleichung von (1), so erhält man \[ [y(x+2) - y(x)][y(x+2) -2y(x+1) + y(x) - 1] = 0,\tag{2} \] und die Lösungen von (1) zerfallen in solche, die den ersten, und solche, die den zweiten Faktor von (2) zum Verschwinden bringen. Es wird bewiesen, daß\ jedes System \(\sum \) einer endlichen Menge von irreduziblen ystemen \(\sum _i\) äquivalent ist; d. h. jede Lösung von \(\sum \) ist auch Lösung von einem \(\sum _i\), und jede Lösung eines \(\sum _i\) ist auch Lösung von \(\sum \). Dabei ist die Zerlegung in irreduzible Systeme, von Äquivalenz abgesehen, eindeutig.
zbMATH DE Number: 2543917
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/2371147
OpenAlex ID: W2315449110
description: scientific article