On the directrices of a set of points in a plane.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the directrices of a set of points in a plane.
zbMATH Open document ID: 59.0624.01
author: Patrick du Val
published in: Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series
publication date: 1933-01-01T00:00:00Z
review text: Unter einer Leitkurve eines Systems von Punkten \(K_1, K_2,\ldots, K_n\) wird eine Kurve verstanden, deren Vielfachheiten \(i_0, i_1,\ldots,i_n\) in diesen Punkten so beschaffen sind, daß Geschlecht und Freiheitsgrad Null werden. Das führt auf die Bedingungen \[ \varSigma (i)=3m-1,\quad \varSigma (i^2)=m^2+1, \] wobei \(m^2\) die Ordnung der Kurve bedeutet. Weiter wird bewiesen, daß die auf dem System \((K)\) basierenden \textit{Cremona}transformationen die Leitkurven unter sich in transitiver Weise vertauschen. Dann werden die freien, d. h. außerhalb von \((K)\) fallenden Schnitte dieser Kurven untersucht. Die Leitkurven lassen sich durch ein System von Punkten des \(n\)-dimensionalen Raumes \([n]\) darstellen, die auf einer Hyperkugel liegen bei geeigneter Einführung der Metrik. Der Abstand zweier Punkte ist, in einer passenden Einheit gemessen, um Eins größer als die Anzahl der freien Schnittpunkte der entsprechenden Kurven. Jeder auf \((K)\) basierenden \textit{Cremona}transformation entspricht eine Symmetrie des von den Punkten gebildeten Polytops. Zunächst werden die Spezialfälle von neun Basispunkten der Ebene und von acht auf einer Quadrik des Raumes liegenden behandelt. Sodann werden die endlichen Polytope untersucht, und zwar inbesondere die Darstellung der 27 Geraden der Fläche dritter Ordnung durch die Ecken eines Polytops im [6] und der 28 Bitangenten der allgemeinen Kurve vierter Ordnung durch ein Polytop im [7]. Zum Schluß wird die Existenz unendlicher Polytope mit unendlich vielen Ecken bewiesen. (V 5 F.)
zbMATH DE Number: 2544616
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s2-35.1.23
OpenAlex ID: W2148448039
DOI: 10.1112/PLMS/S2-35.1.23
description: scientific article