On the classification of algebras.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the classification of algebras.
zbMATH Open document ID: 59.0156.01
author: D. E. Littlewood
published in: Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series
publication date: 1933-01-01T00:00:00Z
review text: Es wird ein neuer Vorstoß in das Gebiet der Algebren mit unendlicher Basis gemacht. Als Koeffizientenkörper dient der Körper der komplexen bzw. der der reellen Zahlen. Unter der Allgemeinen Polynomalgebra der Klasse \(r\) mit den primitiven Elementen \(e_1,\ldots,e_r\) wird die nicht-kommutative Verallgemeinerung des Polynomringes in \(r\) Variablen \(e_1,\ldots,e_r\) verstanden, d. h. die Algebra aus allen endlichen Summen von (assoziativen, nicht-kommutativen) Potenzprodukten der \(e_i\) mit komplexen bzw. reellen Koeffizienten sowie einem komplexen bzw. reellen Summanden. (Benutzt man den \textit{Frobenius}schen verallgemeinerten Gruppenbegriff, der auf die Existenz von Inversen verzichtet, und verallgemeinert man den Begriff des Gruppenringes entsprechend, was ohne weiters zulässig ist, so handelt es sich hier also einfach um den Gruppenring einer freien Gruppe von \(r\) Erzeugenden mit Einheitselement, jedoch ohne Inverse.) In diesen Algebren werden Restklassenringe nach (zweiseitigen) Idealen betrachtet; das Minimum der Grade der ein solches Ideal erzeugenden Polynome heißt der Grad der Restklassenalgebra. Die Algebren der Klasse \(1\) sind kommutative Hauptidealringe leicht angebbarer Struktur. Dagegen sind die Algebren der Klasse \(2\) bereits unübersehbar. Z. B. sind unter ihnen schon alle Algebren ohne Radikal mit endlicher Basis enthalten. Daher werden nur Algebren vom Grade \(2\) näher untersucht. Zuerst wird die Restklassenalgebra modulo dem von \(e_1e_2 - e_2e_1 - 1\) erzeugten Ideal genauer behandelt. Sie ist einfach und nullteilerfrei. Ihre Elemente lassen sich eideutig auf die Normalform \[ \sum a_{mn} e_1^m e_2^n \] bringen. Bei der Aufstellung der Normalform für das Produkt zweier Normalformen ergeben sich nebenbei einige (bereits bekannte) Tatsachen über verallgemeinerte hypergeometrische Reihen. Man kann die Algebra durch Zulassung unendlicher Summen in der Normalform erweitern; auch existiert der Quotienten(schief)körper. - Dann werden die Rest…
zbMATH DE Number: 2542998
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s2-35.1.200
OpenAlex ID: W2012385226
DOI: 10.1112/PLMS/S2-35.1.200
description: scientific article