Zero-dimensional branches of rank one on algebraic varieties
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zero-dimensional branches of rank one on algebraic varieties
zbMATH Open document ID: 0023.29402
DOI: 10.2307/1968935
author: O. F. G. Schilling
author: Saunders Mac Lane
published in: Annals of Mathematics. Second Series
publication date: 1939-01-01T00:00:00Z
review text: Es wird untersucht, welche Wertegruppen für eine Bewertung eines algebraischen Funktionenkörpers in \(n\) Veränderlichen in Frage kommen. Dabei wird von vornherein angenommen, daß alle Konstanten den Wert 0 haben und die Wertegruppe \(\Gamma\) eine Untergruppe der additiven Gruppe der reellen Zahlen ist. Der Rang einer solchen Gruppe \(\Gamma\) ist die Maximalzahl der rational linear unabhängigen Zahlen in \(\Gamma\). Nun wird bewiesen: Die Wertegruppe einer Bewertung \(V\) eines algebraischen Funktionenkörpers in \(n\) Veränderlichen hat entweder einen Rang \(r < n\) oder ist direkte Summe von \(n\) unendlichen zyklischen Gruppen. Ist umgekehrt eine Gruppe von reellen Zahlen \(\Gamma\) gegeben, die entweder einen Rang \(r < n\) hat oder direkte Summe von \(n\) zyklischen Gruppen ist, so gibt es eine Bewertung des rationalen Funktionenkörpers \(L = K(x_1, \dots, x_n)\) mit der Wertegruppe \(\Gamma\). Das wichtigste Hilfsmittel bei der Konstruktion einer solchen Bewertung ist die Existenz einer beliebigen Anzahl von algebraisch unabhängigen Potenzreihen in einer Veränderlichen über einem beliebigen Konstantenkörper.
Mathematics Subject Classification ID: 11R58
Mathematics Subject Classification ID: 14H05
Mathematics Subject Classification ID: 12J10
zbMATH DE Number: 3037871
zbMATH Keywords: algebraic function fields
zbMATH Keywords: valuation
zbMATH Keywords: value group
zbMATH Keywords: rank
zbMATH Keywords: direct sum of n infinite cyclic groups
Wikidata QID: Q101067850
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1968935
OpenAlex ID: W2334571699
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description: scientific article