Die Fortsetzung vier- und höherdimensionaler analytischer Flächen des \(\mathbb{R}_{2n}\) \((n\geq 3)\). (Cousinsche Verteilungen 2. Art.)
\textit{P. Thullen} hat gezeigt [Math. Ann. 111, 137--157 (1935; Zbl 0011.12401; JFM 61.0374.02)], daß die wesentlichen Singularitäten (2n - 2)-dimensionaler analytischer Flächen \(\mathfrak F\) im Raume von \(n\) komplexen Veränderlichen nicht isoliert liegen können, sondern, in Analogie zu den Singularitäten analytischer Funktionen \(f(z_1, \ldots, z_n)\), unter bestimmten Voraussetzungen \((2n - 2)\)-dimensionale analytische Flächenstücke ausfüllen. In der vorliegenden Arbeit werden für \(n\ge 3\) weitere Analogien zwischen analytischen Funktionen und Flächen aufgewiesen. Verf. überträgt den Kontinuitätssatz, der eine wichtige Grundlage für Untersuchungen über Singularitäten analytischer Funktionen mehrerer Veränderlichen bildet, sowie den Satz von Hartogs-Osgood über die Fortsetzung analytischer Funktionen vom Rande eines Gebietes ins Innere. Diese Übertragungen sind, falls die \((2n - 2)\)-dimensionalen analytischen Flächen wie üblich durch Cousinsche Verteilungen regulärer Ortsfunktionen mit Äquivalenz in bezug auf Division vorgegeben werden, wie folgt zu formulieren: 1. (Kontinuitätssatz): \(G^{2k}\) sowie \(G_\mu^{2k}\) \((k\ge 2)\) mit den Rändern \(C\) bzw. \(C_\mu\) seien abgeschlossene Gebiete auf \(2k\)-dimensionalen ergänzten analytischen Flächenstücken \(F^{2k}\) bzw. \(F_\mu^{2k}\) im \(R^{2n}\) \((n > k)\), derart, daß die \(G_\mu^{2k}\) innerhalb, die \(C_\mu\) und \(C\) auf dem Rande eines schlichten beschränkten Regularitätsgebietes \(B\) des \(R^{2n}\) liegen. Die \(G_\mu^{2k}\) mögen gegen \(G^{2k}\) und die \(C_\mu\) gegen \(C\) konvergieren. In den \(G_\mu^{2k}\) sowie auf \(C\) sei eine Cousinsche Verteilung \(V\) von regulären Ortsfunktionen vorgegeben. Dann gibt es ein \(\mu_0\) und dazu eine in \(G^{2k}\) und allen \(G_\mu^{2k}\) mit \(\mu \ge \mu_0\) erklärte Cousinverteilung \(V'\), die in diesen \(G_\mu^{2k}\) und auf \(C\) mit \(V\) äquivalent ist. Die Äquivalenzklasse von \(V'\) ist eindeutig bestimmt. 2. (Analogon zum Hartogs-Osgoodsclien Satz): \(B\) sei ein schlichtes beschränktes Regularitätsgebiet im \(R^{2n}\) \((n \ge 3)\) und \(R\) sein Rand. In einer Umgebung von \(R\) sei eine Cousinverteilung \(V\) von regulären Ortsfunktionen gegeben. Dann läßt sich \(V\) zu einer -- in ganz \(B\) erklärten Cousinverteilung \(V'\) fortsetzen, die bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt ist. Für beide Aussagen ist die Voraussetzung über \(B\), Regularitätsgebiet zu sein, wesentlich. Im \(R^4\) werden die Aussagen falsch; dagegen lassen sie sich, wenn \(n\ge 3\) und \(2\le m < n\), auf \(2m\)-dimensionale analytische Flächen \(\mathfrak F\) im \(R^{2n}\) ausdehnen. Die Beweise sind aus Gründen der Übersichtlichkeit nur für \(m = 2\), \(n=3\) im einzelnen ausgeführt, jedoch wird auf die im Allgemeinfall wichtigen Gesichtspunkte hingewiesen. Verf. gibt eine Reihe von Anwendungen seiner Resultate, von denen die folgende erwähnt sei: Wenn eine 4-dimensionale irreduzible analytische Fläche \(\mathfrak F^4\) des (projektiv abgeschlossenen) \(R^6\) keinen Punkt einer algebraischen Fläche \(\mathfrak A^4\) im \(R^6\) als wesentlichen Randpunkt besitzt und \(\mathfrak A^4\) schneidet, so ist \(\mathfrak F^4\) eine algebraische Fläche.
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