On the first case of Fermat's Last Theorem
Es bezeichne \(p\) eine Primzahl, \(\zeta\) eine primitive \(p\)-te Einheitswurzel, \(k(\zeta)\) den \(p\)-ten Kreiskörper und \(B_i\) die \(i\)-te Bernoullische Zahl. In Verallgemeinerung von Resul\-taten von \textit{E. Kummer} [Abh. Akad. Wiss. Berlin 1857, 41-74)] und \textit{D. Mirimanoff} [J. Reine Angew. Math. 128, 45-68 (1904); L'Enseignement math. 11, 455 (1909); C. r. Acad. Sei., Paris 150, 204 (1910)] wird bewiesen: aus \[ \xi^p + \eta^p + \psi^p = 0, \quad \xi, \eta, \psi\text{ ganz in }k(\zeta)\text{ und zu }p\text{ prim}, \] folgen für eine ganze rationale modulo dem Primteiler von \(p\) mit \(\eta\xi^{-1}\) kongruente Zahl die Kongruenzen \[ B_{\frac12(p-i)} \left[\frac{d^i}{dv^i} \log(1+t e^v)\right]_{v=0} \equiv 0 \bmod p,\quad i = 3, 5, \ldots, p - 2. \tag{1} \] Aus (1) folgt ferner: für das Polynom \(\varphi_i(t) = \sum_{k=1}^{p-1} (-1)1k^{i-1}t^k\) gelten die Kongruenzen \[ \varphi_i(t) \equiv \varphi_i\left(\frac1t\right)\equiv \varphi_i(-1-t)\equiv \varphi_i\left(-\frac1{1+t}\right) \equiv \varphi_i\left(-1-\frac1t\right) \equiv \varphi_i\left(-\frac{t}{1+t}\right) \equiv 0 \bmod p, \] und zwar außer für \(i = 3, 5, 7, 9\) noch für mindestens einen weiteren Wert von \(i\le p-2\). Unter den verschiedenen Anwendungen dieser Kriterien sei nur hervorgehoben: der erste Fall der Fermatschen Gleichung in \(k(\zeta)\) ist unmöglich, wenn der erste Faktor der Klassenzahl von \(k(\zeta)\) nicht durch \(p^5\) teilbar ist.
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