On Taylor series of functions regular in Gaier regions
Die Verff. beschäftigen sich mit Funktionen \(f(z) = \sum a_n z^n\), die in einem Kreis \(C_a|z+a| < 1+a(a>0)\) regulär sind; \(C_a\) wird als ''Gaier disc'' (G.d.) bezeichnet. Der Ref. bewies (Zbl 0047.31203, insbes. S. 327/328 der Arbeit): (1) Ist \(f(z)\) in \(C_a\) regulär und beschränkt, so gilt \(a_n=O(n^{-1/2});\) (2) existiert ferner \(\lim f(z)\) für \(z \to 1\) in \(C_a\) so gilt sogar \(a_n = o(n^{-1/2})\). Daran anknüpfend beweisen die Verff. auf kunstvolle Art, daß \(O\) in (1) nicht allgemein durch \(o\) ersetzt werden kann, und behandeln dann den allgemeineren Fall, daß (3) \((1-z)^k f(z)\) für reelles \(k\) in einem G. d. beschränkt ist. Es ergibt sich hier \[ a_n = O(n^{k-1})\;(k>1);\; a_n=O(\log n)\; (k=1);\; a_n=O(n^{(k-1)/2})\; (k<1);\tag{4} \] darin kann \(O\) nicht allgemein durch \(o\) ersetzt werden, jedoch sicher dann, wenn \(k\leq 1\) ist und \(\lim (1-z)^h f(z)\) für \(z \to 1\) in \(C_a\) existiert. Sodann werden, wieder unter der Voraussetzung (3) Abschnitte der Form \(S_n = \sum_{j=n}^{2n} |a_j|\) wie folgt abgeschätzt: \[ S_n = O(n^k)\;(k>1/2);\; S_n = O(\sqrt{n\log n})\; (k=1/2); \; S_n = O(n^{k/2+1/4})\; (k<1/2); \] für \(k\neq 1/2\) kann \(O\) nicht durch \(o\) ersetzt werden. Auf ähnliche Weise werden einige Konvergenzaussagen gewonnen. Gilt(3) für ein \(k<-1/2\) (d. h. es ist \(f(z)=O((1-z)^\alpha)\; (\alpha >1/2)\) für \(z \to 1\) in \(C_a\)], so ist \(\sum |a_n| < \infty\) und \(\sum n |a_n|^2 < \infty\); die Aussage wird falsch für \(k=-1/2\). Gilt (3) für ein \(k<0\), so konvergiert \(\sum a_n z^n\) gleichmäßig auf \(| z | =1\), und auch dies wird falsch für \(k=0\). Ist schließlich \((1-z)^k f(z)\) \((k < 1)\) in einem Gebiet regulär und beschränkt, da \(|z| < 1\) enthält und dessen Rand den \(|z| =1 \) in \(z = 1\) von der Ordnung \(p\) berührt (\(p \geq 1)\), so gilt allgemeiner als in (4) stets \(a_n = O(n^{(k-1)/p})\).
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