On Taylor series of functions regular in Gaier regions
type: Item
instance of: scholarly article
title: On Taylor series of functions regular in Gaier regions
zbMATH Open document ID: 0055.06802
DOI: 10.1007/BF01899316
author: Fritz Herzog
author: George Piranian
author: P. Erdős
published in: Archiv der Mathematik
publication date: 1954-01-01T00:00:00Z
review text: Die Verff. beschäftigen sich mit Funktionen \(f(z) = \sum a_n z^n\), die in einem Kreis \(C_a|z+a| < 1+a(a>0)\) regulär sind; \(C_a\) wird als ''Gaier disc'' (G.d.) bezeichnet. Der Ref. bewies (Zbl 0047.31203, insbes. S. 327/328 der Arbeit): (1) Ist \(f(z)\) in \(C_a\) regulär und beschränkt, so gilt \(a_n=O(n^{-1/2});\) (2) existiert ferner \(\lim f(z)\) für \(z \to 1\) in \(C_a\) so gilt sogar \(a_n = o(n^{-1/2})\). Daran anknüpfend beweisen die Verff. auf kunstvolle Art, daß \(O\) in (1) nicht allgemein durch \(o\) ersetzt werden kann, und behandeln dann den allgemeineren Fall, daß (3) \((1-z)^k f(z)\) für reelles \(k\) in einem G. d. beschränkt ist. Es ergibt sich hier \[ a_n = O(n^{k-1})\;(k>1);\; a_n=O(\log n)\; (k=1);\; a_n=O(n^{(k-1)/2})\; (k<1);\tag{4} \] darin kann \(O\) nicht allgemein durch \(o\) ersetzt werden, jedoch sicher dann, wenn \(k\leq 1\) ist und \(\lim (1-z)^h f(z)\) für \(z \to 1\) in \(C_a\) existiert. Sodann werden, wieder unter der Voraussetzung (3) Abschnitte der Form \(S_n = \sum_{j=n}^{2n} |a_j|\) wie folgt abgeschätzt: \[ S_n = O(n^k)\;(k>1/2);\; S_n = O(\sqrt{n\log n})\; (k=1/2); \; S_n = O(n^{k/2+1/4})\; (k<1/2); \] für \(k\neq 1/2\) kann \(O\) nicht durch \(o\) ersetzt werden. Auf ähnliche Weise werden einige Konvergenzaussagen gewonnen. Gilt(3) für ein \(k<-1/2\) (d. h. es ist \(f(z)=O((1-z)^\alpha)\; (\alpha >1/2)\) für \(z \to 1\) in \(C_a\)], so ist \(\sum |a_n| < \infty\) und \(\sum n |a_n|^2 < \infty\); die Aussage wird falsch für \(k=-1/2\). Gilt (3) für ein \(k<0\), so konvergiert \(\sum a_n z^n\) gleichmäßig auf \(| z | =1\), und auch dies wird falsch für \(k=0\). Ist schließlich \((1-z)^k f(z)\) \((k < 1)\) in einem Gebiet regulär und beschränkt, da \(|z| < 1\) enthält und dessen Rand den \(|z| =1 \) in \(z = 1\) von der Ordnung \(p\) berührt (\(p \geq 1)\), so gilt allgemeiner als in (4) stets \(a_n = O(n^{(k-1)/p})\).
Mathematics Subject Classification ID: 30B10
Mathematics Subject Classification ID: 41A58
zbMATH DE Number: 3087034
zbMATH Keywords: complex functions
Wikidata QID: Q105742857
reviewed by: Dieter Gaier
MaRDI profile type: Publication
cites work: Über die Summierbarkeit beschränkter und stetiger Potenzreihen an der Konvergenzgrenze
cites work: Complex Tauberian Theorems for Power Series
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01899316
OpenAlex ID: W2314812043
description: scientific article