Automorphic functions on the three-dimensional hyperbolic space and class numbers of biquadratic fields
type: Item
instance of: scholarly article
zbMATH Open document ID: 1013.11020
author: Ansgar J. Eichstädt
publication date: 2001-09-26T00:00:00Z
Mathematics Subject Classification ID: 11F72
Mathematics Subject Classification ID: 11R29
Mathematics Subject Classification ID: 11R11
zbMATH DE Number: 1651859
zbMATH Keywords: automorphic functions
zbMATH Keywords: hyperbolic space
zbMATH Keywords: biquadratic fields
zbMATH Keywords: spectral theory
zbMATH Keywords: automorphic Laplacian
zbMATH Keywords: real quadratic fields
zbMATH Keywords: class number one
MaRDI profile type: Publication
title: Automorphic functions on the three-dimensional hyperbolic space and class numbers of biquadratic fields
review text: Wir zitieren aus der Einleitung des Verfassers: ``Im Jahre 1982 veröffentlichten die Mathematiker \textit{L. A. Takhtajan} und \textit{A. I. Vinogradov} eine Arbeit unter dem Titel `The Gauß-Hasse conjecture on real quadratic fields with class number one' [J. Reine Angw. Math. 335, 39-86 (1982; Zbl 0497.12004)] in der sie durch eine Betrachtung der Spektralzerlegung des automorphen Laplace-Operators auf Quotienten der oberen Halbebene nach Kongruenzuntergruppen \(\Gamma_0(D)\) von \(\text{PSL}(2,\mathbb{Z})\) einen Zusammenhang zwischen dem Auftreten des Eigenwertes \(-\frac 14\) des automorphen Laplace Operators und der Tatsache, dass der reell-quadratische Körper \(\mathbb{Q}(\sqrt{D})\) Klassenzahl eins besitzt, aufdecken könnten. Die Hoffnung über dieses Ergebnis zu einem positiven Resultat über die Richtigkeit der Gaußschen Vermutung, es gebe unendlich viele reell-quadratische Körper mit der Klassenzahl Eins zu kommen, konnte allerdings nicht erfüllt werden. Es ist interessant herauszufinden, ob sich eine solche Verbindung auch in anderen Situationen wieder findet.NEWLINENEWLINENEWLINEIn diesem Zusammenhang hat \textit{G. Hetrodt} in seiner Dissertation [vgl. C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 319, 921-926 (1994; Zbl 0847.11029)] gezeigt, dass ein sehr ähnlicher Zusammenhang auch für Quotienten des dreidimensionalen hyperbolischen Raumes nach gewissen Kongruenzuntergruppen mit den Klassenzahlen entsprechender biquadratischer Zahlkörper existiert.NEWLINENEWLINENEWLINEEs wäre nun sicher wünschenswert, diesen Zusammenhang auf eine mehr strukturelle Art und Weise als bisher zu begreifen. Dies soll in der vorliegenden Arbeit für den Fall des dreidimensionalen hyperbolischen Raumes geschehen.NEWLINENEWLINENEWLINEDer Hauptsatz wird in drei verschiedenen Versionen formuliert, um das Ergebnis vielfältig zu beleuchten. Die erste Version verdeutlicht vor allem, welche Anteile aus Sicht der Spektraltheorie eine Rolle spielen. Für die zweite Version des Hauptsatzes wurde der A…
reviewed by: Jannis A. Antoniadis
description: scientific article; zbMATH DE number 1651859