On the binomial convolution of arithmetical functions
type: Item
instance of: scholarly article
zbMATH Open document ID: 1242.11008
author: László Tóth
author: Pentti Haukkanen
publication date: 2012-04-12T00:00:00Z
full work available at URL: https://arxiv.org/abs/0806.0508
Mathematics Subject Classification ID: 11A25
Mathematics Subject Classification ID: 05A15
zbMATH DE Number: 6023048
zbMATH Keywords: binomial convolution
zbMATH Keywords: strongly multiplicative functions
zbMATH Keywords: Selberg multiplicative functions
zbMATH Keywords: exponential Dirichlet series
zbMATH Keywords: exponential generating functions
MaRDI profile type: Publication
arXiv ID: 0806.0508
arXiv classification: math.NT
arXiv classification: math.CO
title: On the binomial convolution of arithmetical functions
published in: Journal of Combinatorics and Number Theory
review text: Bedeutet \(\mathcal{Z}\) die Menge der zahlentheoretischen Funktionen, so untersuchen Verff. die binomische Faltung \(f\circ g\) von \(f,g\in\mathcal{Z}\), die punktweise durch \((f\circ g)(n):=\sum_{d | n}c_n(d)f(d)g(n/d)\) definiert ist, \(c_n(d)\) das über alle Primzahlen \(p\) genommene Produkt der Binomialkoeffizienten \({\nu_p(n) \choose \nu_p(d)}\), wobei \(\nu_p(k)\) die Vielfachheit von \(p\) in \(k\in\mathbb{N}\) bedeutet. Es wird u.a. gezeigt, dass \((\mathcal{Z},+,\circ)\) mit der punktweisen Addition \(+\) eine Algebra bildet, die zur Standardalgebra \((\mathcal{Z},+,\ast)\) isomorph ist; dabei ist \(\ast\) die klassische (oder Dirichlet-) Faltung auf \(\mathcal{Z}\), bei der alle \(c_n(d)\) gleich 1 sind.NEWLINENEWLINEWeiter untersuchen Verff. Charakterisierungen streng multiplikativer bzw. Selberg-multiplika\-tiver Funktionen, exponentielle Dirichlet-Reihen und gewisse exponentielle erzeugende Funktionen (bezüglich \(\circ\)) ebenso wie eine verallgemeinerte binomische Faltung, die zu verschiedenen Umkehr\-formeln vom Möbiusschen Typ führen. Durchgängig werden die für \(\circ\) erzielten Resultate mit den klassischen für \(\ast\) verglichen.
reviewed by: Peter Bundschuh
description: scientific article; zbMATH DE number 6023048