On the binomial convolution of arithmetical functions
Bedeutet \(\mathcal{Z}\) die Menge der zahlentheoretischen Funktionen, so untersuchen Verff. die binomische Faltung \(f\circ g\) von \(f,g\in\mathcal{Z}\), die punktweise durch \((f\circ g)(n):=\sum_{d | n}c_n(d)f(d)g(n/d)\) definiert ist, \(c_n(d)\) das über alle Primzahlen \(p\) genommene Produkt der Binomialkoeffizienten \({\nu_p(n) \choose \nu_p(d)}\), wobei \(\nu_p(k)\) die Vielfachheit von \(p\) in \(k\in\mathbb{N}\) bedeutet. Es wird u.a. gezeigt, dass \((\mathcal{Z},+,\circ)\) mit der punktweisen Addition \(+\) eine Algebra bildet, die zur Standardalgebra \((\mathcal{Z},+,\ast)\) isomorph ist; dabei ist \(\ast\) die klassische (oder Dirichlet-) Faltung auf \(\mathcal{Z}\), bei der alle \(c_n(d)\) gleich 1 sind.NEWLINENEWLINEWeiter untersuchen Verff. Charakterisierungen streng multiplikativer bzw. Selberg-multiplika\-tiver Funktionen, exponentielle Dirichlet-Reihen und gewisse exponentielle erzeugende Funktionen (bezüglich \(\circ\)) ebenso wie eine verallgemeinerte binomische Faltung, die zu verschiedenen Umkehr\-formeln vom Möbiusschen Typ führen. Durchgängig werden die für \(\circ\) erzielten Resultate mit den klassischen für \(\ast\) verglichen.
scientific article; zbMATH DE number 6023048