On the convergence of Diophantine Dirichlet series
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the convergence of Diophantine Dirichlet series
zbMATH Open document ID: 1271.11072
DOI: 10.1017/S0013091510001069
author: T. Rivoal
publication date: 2012-06-18T00:00:00Z
Mathematics Subject Classification ID: 11J70
Mathematics Subject Classification ID: 11M41
Mathematics Subject Classification ID: 11K70
zbMATH DE Number: 6047115
zbMATH Keywords: Diophantine approximation
zbMATH Keywords: Dirichlet series
zbMATH Keywords: continued fractions
MaRDI profile type: Publication
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published in: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. Series II
review text: Verf. untersucht Dirichlet-Reihen des Typs \((\ast)\!\!: \sum_{n\geq1}f(\pi n\alpha)n^{-s}\) und deren `alternierende' \(\sum (-1)^nf(\pi n\alpha)n^{-s}\) bei festem \(\alpha\in(0,1) \setminus\mathbb{Q}\) und reellem \(s\) für verschiedene trigonometrische Funktionen \(f\) wie \(\cot\) oder \(\mathrm{cosec}\) und deren ganze Potenzen auf Konvergenz. So sind bei \(s>2\) die Reihen \(\Phi_s(\alpha):=\sum (\cot(\pi n\alpha))n^{-s}\) bzw. \(\widehat{\Phi}_s(\alpha):=\sum (\sin(\pi n\alpha))^{-2}n^{-s}\) dann und nur dann konvergent, wenn die Reihen \(\sum_{j\geq0} (-1)^jq_{j+1}(\alpha)/q_j(\alpha)^s\) bzw. \(\sum q_{j+1}(\alpha)^2/q_j(\alpha)^s\) konvergieren. Dabei bedeutet \(q_k(\alpha)\) den \(k\)ten Näherungsnenner des regulären Kettenbruchs von \(\alpha\). Setzt man weiter \(\overline{\Phi}_s(\alpha):=\sum (\sin(\pi n\alpha))^{-1}n^{-s}\), so wird bewiesen, dass bei festem \(s>1\) diese letzte Reihe, ihre alternierende und die alternierende Reihe von \(\Phi_s(\alpha)\) konvergieren, falls \(\sum q_{j+1}(\alpha)/q_j(\alpha)^s\) konvergiert. Da Reihen des Typs \((\ast)\) meist langsam konvergieren, gibt Verf. in den fünf aufgeführten Fällen effizientere Reihendarstellungen an, die von den Iterierten des Kettenbruchoperators \(\alpha \mapsto \{1/\alpha\}\) abhängen. Zum Schluss diskutiert Verf. als mehrdimensionale Verallgemeinerung von \(\Phi_s(\alpha)\) die Reihe \(\sum(\prod _{i=1}^d\cot(\pi n\alpha_i))n^{-s}\) mit \(\underline{\alpha}:=(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\in(0,1)^d\), deren Verhalten mit dem auf \(\underline{\alpha}\) angewandten Jacobi-Perron-Algorithmus zusammenzuhängen scheint.
reviewed by: Peter Bundschuh
description: scientific article; zbMATH DE number 6047115