On the complexity of the Liouville numbers in positive characteristic
\(\mathbb{F}\) sei ein endlicher Körper, \(\mathbb{F}[T]\) der Polynomring in einer Unbestimmten \(T\) mit Koeffizienten in \(\mathbb{F}\) und \(\mathbb{F}(T)\) der Quotientenkörper dieses Rings. Auf \(\mathbb{F}(T)\) wird durch \(|0|:=0\) bzw. \(|p/q|:= (\mathrm{card}\,\mathbb{F})^{\deg(p)-\deg(q)}\) für \(p,q\in\mathbb{F}[T]\setminus\{0\}\), eine nicht-archimedische Bewertung \(|\,.\,|\) definiert, bezüglich der sich \(\mathbb{F}(T)\) vervollständigen lässt: Ergebnis ist der mit \(\mathbb{L}\) bezeichnete Körper der formalen Laurentreihen in \(T\).NEWLINENEWLINEVerfasser untersuchen die Menge \(\mathfrak{L}\!:=\!\{\alpha\!\in\mathbb{L}\setminus\mathbb{F}(T)\!: \forall n\!\in\!\mathbb{N}\;\exists\, q\neq0,p\in\mathbb{F}[T]\; \mathrm{mit}\; |\alpha-p/q|<|q|^{-n}\}\) der Liouville-`Zahlen' in \(\mathbb{L}\) hinsichtlich ihrer Komplexität. Analog zur klassischen Situation im Reellen beweisen sie Resultate über Reichhaltigkeit und Dimension von \(\mathfrak{L}\). Insbesondere zeigen sie, dem Vorgehen von \textit{J. C. Oxtoby} [Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces. New York etc.: Springer-Verlag (1971; Zbl 0217.09201)] folgend, dass \(\mathfrak{L}\) Haarsches Maß 0 und Hausdorff-Dimension 0 hat.NEWLINENEWLINEUm Mengen verschwindender Hausdorff-Dimension genauer untersuchen zu können, verfeinern Verff. den Dimensionsbegriff wie folgt. Jedes nicht abnehmende, rechtsseitig stetige \(h\!: [0,\infty)\to[0,\infty)\) mit \(h(0)=0\) heißt eine Dimensionsfunktion. Für solche wird das \(h\)-dimensionale Hausdorff-Maß \(\mathcal{H}^h(E)\) von \(E\subset\mathfrak{L}\) definiert durch NEWLINE\[NEWLINE\lim_{\delta\downarrow0}\left(\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty h(\mathrm{diam}\,B_j): E\subset\bigcup_{j=1}^\infty B_j, \mathrm{diam}\,B_j<\delta\right\}\right)\in[0,\infty],NEWLINE\]NEWLINE wobei das Infimum über alle abzählbaren Überdeckungen von \(E\) durch `Kugeln' vom Durchmesser \(<\delta\) genommen wird.NEWLINENEWLINEHauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist eine vollständige Charakterisierung aller Hausdorff-Maße \(\mathcal{H}^h(E)\), die zwei zentrale Fragen beantwortet: 1) Für welche Dimensionsfunktionen \(h\) ist \(\mathcal{H}^h(E)\) gleich 0, für welche gleich \(\infty\)? 2) Existiert ein \(h\), so dass \(\mathcal{H}^h(E)>0\) gilt und dass \(\mathfrak{L}\) \(\sigma\)-endliches \(\mathcal{H}^h\)-Maß besitzt?
scientific article; zbMATH DE number 6353645