On the complexity of the Liouville numbers in positive characteristic
type: Item
instance of: scholarly article
zbMATH Open document ID: 1312.11058
published in: The Quarterly Journal of Mathematics
publication date: 2014-10-10T00:00:00Z
Mathematics Subject Classification ID: 11J61
Mathematics Subject Classification ID: 11J83
Mathematics Subject Classification ID: 11K55
zbMATH DE Number: 6353645
zbMATH Keywords: Liouville number
zbMATH Keywords: complexity
zbMATH Keywords: Laurent series
zbMATH Keywords: Hausdorff dimension
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: hat019
OpenAlex ID: W1994389921
DOI: 10.1093/QMATH/HAT019
title: On the complexity of the Liouville numbers in positive characteristic
author: P. Lertchoosakul
author: R. Nair
review text: \(\mathbb{F}\) sei ein endlicher Körper, \(\mathbb{F}[T]\) der Polynomring in einer Unbestimmten \(T\) mit Koeffizienten in \(\mathbb{F}\) und \(\mathbb{F}(T)\) der Quotientenkörper dieses Rings. Auf \(\mathbb{F}(T)\) wird durch \(|0|:=0\) bzw. \(|p/q|:= (\mathrm{card}\,\mathbb{F})^{\deg(p)-\deg(q)}\) für \(p,q\in\mathbb{F}[T]\setminus\{0\}\), eine nicht-archimedische Bewertung \(|\,.\,|\) definiert, bezüglich der sich \(\mathbb{F}(T)\) vervollständigen lässt: Ergebnis ist der mit \(\mathbb{L}\) bezeichnete Körper der formalen Laurentreihen in \(T\).NEWLINENEWLINEVerfasser untersuchen die Menge \(\mathfrak{L}\!:=\!\{\alpha\!\in\mathbb{L}\setminus\mathbb{F}(T)\!: \forall n\!\in\!\mathbb{N}\;\exists\, q\neq0,p\in\mathbb{F}[T]\; \mathrm{mit}\; |\alpha-p/q|<|q|^{-n}\}\) der Liouville-`Zahlen' in \(\mathbb{L}\) hinsichtlich ihrer Komplexität. Analog zur klassischen Situation im Reellen beweisen sie Resultate über Reichhaltigkeit und Dimension von \(\mathfrak{L}\). Insbesondere zeigen sie, dem Vorgehen von \textit{J. C. Oxtoby} [Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces. New York etc.: Springer-Verlag (1971; Zbl 0217.09201)] folgend, dass \(\mathfrak{L}\) Haarsches Maß 0 und Hausdorff-Dimension 0 hat.NEWLINENEWLINEUm Mengen verschwindender Hausdorff-Dimension genauer untersuchen zu können, verfeinern Verff. den Dimensionsbegriff wie folgt. Jedes nicht abnehmende, rechtsseitig stetige \(h\!: [0,\infty)\to[0,\infty)\) mit \(h(0)=0\) heißt eine Dimensionsfunktion. Für solche wird das \(h\)-dimensionale Hausdorff-Maß \(\mathcal{H}^h(E)\) von \(E\subset\mathfrak{L}\) definiert durch NEWLINE\[NEWLINE\lim_{\delta\downarrow0}\left(\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty h(\mathrm{diam}\,B_j): E\subset\bigcup_{j=1}^\infty B_j, \mathrm{diam}\,B_j<\delta\right\}\right)\in[0,\infty],NEWLINE\]NEWLINE wobei das Infimum über alle abzählbaren Überdeckungen von \(E\) durch `Kugeln' vom Durchmesser \(<\delta\) genommen wird.NEWLINENEWLINEHauptergebnis der …
reviewed by: Peter Bundschuh
description: scientific article; zbMATH DE number 6353645