Stable short exact sequences and the maximal exact structure of an additive category
In [Lect. Notes Math. 341, 85--147 (1973; Zbl 0292.18004)] führte \textit{D. Quillen} den Begriff von \textit{exakter Kategorie} ein, der grundsätzlich für die Entwicklung der höheren algebraischen \(K\)-Theorie ist. Erinnern wir daran, dass eine exakte Kategorie eine additive Kategorie ist, die mit einer \textit{exakten Struktur} -- das heißt, einer Klasse von kurzen exakten Folgen mit geeigneten Stabilitätseigenschaften -- gegeben ist. Eine additive Kategorie besitzt allgemein mehrere exakte Strukturen. Die zerfallenden kurzen exakten Folgen bestimmen eine exakte Struktur über jeder additiven Kategorie, die die kleinste ist. Es gibt auch eine höchste exakte Struktur über jeder additiven Kategorie (die von allen kurzen exakten Folgen gegeben ist, wenn die Kategorie abelsch ist), aber dieses Ergebnis ist schwieriger und neuer -- siehe [\textit{W. Rump}, Fundam. Math. 214, No. 1, 77--87 (2011; Zbl 1252.18023)].NEWLINENEWLINEIn einer additiven Kategorie heißt ein Cokern \textit{halbstabil}, wenn er nach beliebigem Rücktransport einen Cokern bleibt; der duale Begriff ist ein halbstabiler Kern. Eine kurze exakte Folge heißt \textit{stabil}, wenn der Kern und der Cokern in dieser halbstabil sind. Im Artikel unter Referat zeigt der Autor, dass die höchste exakte Struktur über einer additiven Kategorie nicht immer aus den halbstabilen kurzen exakten Folgen bestehen. Das gegebene Gegenbeispiel ist nicht kompliziert: man geht von der (abelschen) Kategorie der Moduln über einem diskreten Bewertungsring \(R\) aus; die additive Kategorie, zu betrachten, erhält sich daraus, indem man das \(R\)-Modul \(K=\mathrm{Frac}(R)\) (Quotientenkörper von \(R\)) wegnimmt.
scientific article; zbMATH DE number 6366993
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