Stable short exact sequences and the maximal exact structure of an additive category
type: Item
instance of: scholarly article
title: Stable short exact sequences and the maximal exact structure of an additive category
zbMATH Open document ID: 1318.18005
author: Wolfgang Rump
published in: Fundamenta Mathematicae
publication date: 2014-11-07T00:00:00Z
Mathematics Subject Classification ID: 18E10
Mathematics Subject Classification ID: 18G25
Mathematics Subject Classification ID: 18E05
Mathematics Subject Classification ID: 13D09
Mathematics Subject Classification ID: 19D99
zbMATH DE Number: 6366993
zbMATH Keywords: additive category
zbMATH Keywords: exact structure
zbMATH Keywords: stable short exact sequence
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: fm228-1-7
OpenAlex ID: W2314759359
DOI: 10.4064/FM228-1-7
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review text: In [Lect. Notes Math. 341, 85--147 (1973; Zbl 0292.18004)] führte \textit{D. Quillen} den Begriff von \textit{exakter Kategorie} ein, der grundsätzlich für die Entwicklung der höheren algebraischen \(K\)-Theorie ist. Erinnern wir daran, dass eine exakte Kategorie eine additive Kategorie ist, die mit einer \textit{exakten Struktur} -- das heißt, einer Klasse von kurzen exakten Folgen mit geeigneten Stabilitätseigenschaften -- gegeben ist. Eine additive Kategorie besitzt allgemein mehrere exakte Strukturen. Die zerfallenden kurzen exakten Folgen bestimmen eine exakte Struktur über jeder additiven Kategorie, die die kleinste ist. Es gibt auch eine höchste exakte Struktur über jeder additiven Kategorie (die von allen kurzen exakten Folgen gegeben ist, wenn die Kategorie abelsch ist), aber dieses Ergebnis ist schwieriger und neuer -- siehe [\textit{W. Rump}, Fundam. Math. 214, No. 1, 77--87 (2011; Zbl 1252.18023)].NEWLINENEWLINEIn einer additiven Kategorie heißt ein Cokern \textit{halbstabil}, wenn er nach beliebigem Rücktransport einen Cokern bleibt; der duale Begriff ist ein halbstabiler Kern. Eine kurze exakte Folge heißt \textit{stabil}, wenn der Kern und der Cokern in dieser halbstabil sind. Im Artikel unter Referat zeigt der Autor, dass die höchste exakte Struktur über einer additiven Kategorie nicht immer aus den halbstabilen kurzen exakten Folgen bestehen. Das gegebene Gegenbeispiel ist nicht kompliziert: man geht von der (abelschen) Kategorie der Moduln über einem diskreten Bewertungsring \(R\) aus; die additive Kategorie, zu betrachten, erhält sich daraus, indem man das \(R\)-Modul \(K=\mathrm{Frac}(R)\) (Quotientenkörper von \(R\)) wegnimmt.
reviewed by: Aurelien Djament
description: scientific article; zbMATH DE number 6366993