DLMF:13.23.E1
type: Item
Digital Library of Mathematical Functions ID: 13.23.E1
DLMF defining formula: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-zt}t^{\nu-1}M_{\kappa,\mu}% \left(t\right)\mathrm{d}t=\frac{\Gamma\left(\mu+\nu+\tfrac{1}{2}\right)}{\left% (z+\frac{1}{2}\right)^{\mu+\nu+\frac{1}{2}}}\*{{}_{2}F_{1}}\left({\tfrac{1}{2}% +\mu-\kappa,\tfrac{1}{2}+\mu+\nu\atop 1+2\mu};\frac{1}{z+\frac{1}{2}}\right),}}" display="inline"> ∫ 0 ∞ e - z ⁢ t ⁢ t ν - 1 ⁢ M κ , μ ⁡ ( t ) ⁢ d t = Γ ⁡ ( μ + ν + 1 2 ) ( z + 1 2 ) μ + ν + 1 2 ⁢ <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.13.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.13.1.cmml"> F 1 <none id="p1.1.m1.1.13.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml"/> <mprescripts id="p1.1.m1.1.13.2.1.5b" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml"/> 2 <none id="p1.1.m1.1.13.2.1.5c" xref="p1.1.m1.1.13.2.1.1.cmml"/> </mmultiscripts> ⁡ ( 1 2 + μ - κ , 1 2 + μ + ν 1 + 2 ⁢ μ ; 1 z + 1 2 ) , <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b"> <apply id="p1.1.m1.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15"> <eq id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10"/> <apply id="p1.1.m1.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1"> <apply id="p1.1.m1.1.15.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.1"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.1">superscript</csymbol> <apply id="p1.1.m1.1.15.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.1"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.1">subscript</csymbol> <int id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">0</cn> </apply> <infinity id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1"/> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.15.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.2"> <times id="p1.1.m1.1.15.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.2.1"/> <apply id="p1.1.m1.1.15.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.2.2"> <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.15.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.15.2.1.2.2">superscript</csymbol> <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑒</ci> <apply id="p1.1.m1.1.5.1.c…
constraint: 0}}" display="inline"> ℜ ⁡ ( μ + ν + 1 2 ) > 0 <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b"> <apply id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"> <gt id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/> <apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5"> <real id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.2"/> <apply id="p1.1.m1.1.1.4.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4"> <plus id="p1.1.m1.1.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.3"/> <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2">𝜇</ci> <ci id="p1.1.m1.1.1.4.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.4">𝜈</ci> <apply id="p1.1.m1.1.1.4.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.6"> <divide id="p1.1.m1.1.1.4.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.6"/> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.6.2">1</cn> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.6.3">2</cn> </apply> </apply> </apply> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">0</cn> </apply> </annotation-xml> {\displaystyle{\displaystyle\Re(\mu+\nu+\tfrac{1}{2})>0}}
constraint: \tfrac{1}{2}}}" display="inline"> ℜ ⁡ z > 1 2 <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b"> <apply id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"> <gt id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2"/> <apply id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5"> <real id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.2"/> <ci id="p1.1.m1.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4">𝑧</ci> </apply> <apply id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"> <divide id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3"/> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2">1</cn> <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">2</cn> </apply> </apply> </annotation-xml> {\displaystyle{\displaystyle\Re z>\tfrac{1}{2}}}
Symbols used: gamma function
Symbols used: = F ( a , b ; c ; z ) notation for Gauss’ hypergeometric function
Symbols used: Whittaker confluent hypergeometric function
Symbols used: differential of x
Symbols used: base of natural logarithm
Symbols used: integral
Symbols used: real part
Symbols used: complex variable
instance of: Digital Library of Mathematical Functions Formula
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